Дисперсионный анализ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ УКРАИНЫ

ДОНЕЦКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ МАШИНОСТРОИТЕЛЬНАЯ АКАДЕМИЯ

КАФЕДРА: ЭКОНОМИКА И ФИНАНСЫ

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА

ПО КУРСУ «СТАТИСТИКА»

2008 г.

Выполнение задания начинают с группирования совокупности данных для этого определяют количество групп с равными интервалами и рассчитывают величины интервала.

Величина интервала:

d = (xmax - xmin) / n,

Расчет средней и показателей вариации по данным задачи требует применения арифметической средней, так как данные представлены в виде вариант и частот. Вес каждой варианты различен, поэтому расчет производят по средней арифметической взвешенной.

xi = ?xi •fi / ?fi,

Где Xi - средняя арифметическая.

Xi - значение варианты определяемого признака (средина интервала).

fi - частота (вес) варианты.

Чтобы вычислить среднюю вначале следует взвесить варианты (перемножить варианты на их частоты (Xi*fi), затем найти сумму их произведений (Xi*fi), сумму частот (fi) и поделить сумму произведений вариант на частоты на сумму частот (1)). Расчет дисперсии - производят по формуле:

?2 = ? (xi - xi)2 • fi / ? fi

Следовательно, прежде всего, необходимо найти отклонения вариант от средней (xi - xi), затем возвести их в квадрат ([(xi - xi)2]) квадраты отклонения взвесить [(xi - xi)2 • fi] и просуммировать взвешенные квадраты отклонений [? (xi - xi)2 • fi.]. Полученную сумму разделить на сумму частот (2).

Среднее квадратическое отклонение устанавливают извлечением корня квадратного из значения дисперсии

? = v ?2

Коэффициент детерминации вычисляется по формуле

?2 = ?2 вн / ?2 об,

Где ?2 вн - внутригрупповая дисперсия.

?2 об - общая дисперсия.

Эмпирическое корреляционное отношение рассчитывается по формуле

? = v ?2 вн / ?2 об,

Задача 1.

Имеются следующие данные о рабочих одного из участников механического цеха

Для выявления зависимости между возрастом рабочих и оплатой их труда произведите их группировку по возрасту образовав пять групп с равными интервалами.

По каждой группе и совокупности рабочих в целом подсчитайте:

1. Число рабочих;

2. Средний возраст;

3. Среднюю заработную плату;

Результаты представьте в таблице. Проанализируйте показатели и сделайте краткие выводы.

Решение

1.1 Найдем минимальное и максимальное значение варианты данной совокупности

Min = 18 лет;

Мах = 54 лет.

Определим размах вариации:

D = 54 - 18 = 36;

Тогда величина интервала составит:

d = (54 - 18) / 5 = 7 (лет).

Определим границы интервалов (групп) и их середины:

Таблица 1.

1.3 Определим принадлежность каждого рабочего к определенному интервалу (произведем группировку)

В группу 1 (границы: 18 - 25) входят рабочие:

№11 возраст составляет 18 лет с заработной платой 100,00 грн

№2 (возраст = 24 года) с (з/п = 210,00 грн)

№1 (возраст = 25 лет) с (з/п = 180,00 грн)

№13 (возраст = 25 лет) с (з/п = 190,00 грн)

№20 (возраст = 25 лет) с (з/п = 280,00 грн)

Количество человек в 1_ой группе - 5

В группу 2 (границы: 25 - 32) входят рабочие:

№15 (возраст = 26 лет) с (з/п = 210,00 грн)

№18 (возраст = 28 лет) с (з/п = 240,00 грн)

№7 (возраст = 29 лет) с (з/п = 240,00 грн)

№10 (возраст = 29 лет) с (з/п = 250,00 грн)

№14 (возраст = 30 лет) с (з/п = 220,00 грн)

Количество человек во 2_ой группе - 5

В группу 3 (границы: 32 - 39) входят рабочие:

№19 (возраст = 35 лет) с (з/п = 280,00 грн)

№8 (возраст = 36 лет) с (з/п = 290,00 грн)

№16 (возраст = 36 лет) с (з/п = 300,00 грн)

№12 (возраст = 37 лет) с (з/п = 280,00 грн)

Количество человек в 3_й группе - 4

В группу 4 (границы: 39 - 46) входят рабочие:

№17 (возраст = 40 лет) с (з/п = 330,00 грн)

№5 (возраст = 42 года) с (з/п = 260,00 грн)

№4 (возраст = 45 лет) с (з/п = 320,00 грн)

№3 (возраст = 46 лет) с (з/п = 390,00 грн)

Количество человек в 4_й группе - 4

В группу 5 (границы: 46 - 54) входят рабочие:

№6 (возраст = 50 лет) с (з/п = 310,00 грн)

№9 (возраст = 54 года) с (з/п = 390,00 грн)

Количество человек в 5_й группе - 2

1.4 Определим средний возраст работы по каждой группе и по совокупности рабочих в целом

Группа 1 х1 = (18+24+25+25+25) / 5 = 23,4 (года);

Группа 2 х2 = (26+28+29+29+30) / 5 = 28,4 (года);

Группа 3 х3 = (35+36+36+37) / 4 = 36 (лет);

Группа 4 х4 = (40+42+45+46) / 4 = 43,25 (года);

Группа 5 х5 = (50 + 54) / 2 = 52 (года);

По совокупности в целом:

Х = (23,4 · 5 + 28,4 · 5 + 36 · 4 + 43,25 · 4 + 52 · 2) / 20 = 34 (года)

1.5 Определим среднюю заработную плату по каждой группе и по совокупности рабочих в целом

Группа 1 х1 = (100+210+180+190+280) / 5 = 192,00 (грн);

Группа 2 х2 = (210+240+240+240+250+220) / 5 = 280,00 (грн);

Группа 3 х3 = (280+300+290+280) / 4 = 287,50 (грн);

Группа 4 х4 = (330+260+320+390) / 4 = 325,00 (грн);

Группа 5 х5 = (310+390) / 2 = 350,00 (грн);

По совокупности в целом: Х = (192,00 · 5 + 280,00 · 5 + 287,50 · 4 + 325,00 · 4 + 350,00 · 2) / 20 = 236,50 (грн).

Таблица 3. Группировка рабочих по возрасту работы.

Выводы: На основании полученных результатов по группировке рабочих по возрасту и проведенных расчетов можно сделать следующие выводы:

- наибольшее количество рабочих имеют возраст в пределах 18 - 25 лет (в среднем 23,4 года) и 25 - 32 лет (в среднем 28,4 года), наименьшее количество рабочих имеют возраст в интервале 46 - 54 года (в среднем 52 года). Средний же возраст работников предприятия составляет 34 года.

- наибольшую среднюю заработную плату имеют рабочие входящие в пятую группу возрастных пределов 46 - 54 года (в среднем 350,00 грн), наименьшую среднюю заработную плату имеют рабочие входящие в первую группу возрастных пределов 18 - 25 лет (в среднем 192,00 грн). Средняя заработная плата работников предприятия составляет 236,50 грн.

Задача 7

По данным задачи 1 для выявления тесноты связи между возрастом рабочих и оплатой труда вычислить коэффициент детерминации.

Решение

Определим дисперсию по каждой группе рабочих и по совокупности в целом:

Группа 1 21 = ((18 - 23,4)2 + (24 - 23,4)2 + 3 • (25 - 23,4)2) / 5 = 7,44;

Группа 2 22 = ((26 - 28,4)2 + (28 - 28,4)2 + 2 • (29 - 28,4)2 + (30 - 28,4)2) / 5 = 1,84;

Группа 3 23 = ((35 - 36)2 + 2 • (36 - 36)2 + (37 - 36)2) / 4 = 0,5;

Группа 4 24 = ((40 - 43,25)2 + (42 - 43,25)2 + (45 - 43,25)2 + (46 - ? 43,25)2) / 4 = 5,69;

Группа 5 25 = ((50 - 52)2 + (54 - 52)2) / 2 = 4.

По совокупности в целом:

2 = ((21,5 - 34)2 · 5 + (28,5 - 34)2 · 5 + (35,5 - 34)2 · 4 + (42,5 - 34)2 · 4 + (49,5 - 34)2 · 2) / 20 = 85,55.

Определим общую дисперсию

= [(21,5 2 · 5 + 28,52 · 5 + 35,52 · 4 + 42,52 · 4 + 49,52 · 2) / 20] - [(21,5 · 5 + 28,5 · 5 + 35,5 · 4 + 42,5 · 4 + 49,5 · 2) / 20)]2 = 1176,95 - 1092,30 = 84,65.

Задача 2

За отчетный период имеются следующие данные об электровооруженности труда выработке продукции рабочими завода

Сгруппируйте рабочих по электровооруженности труда, образовав четыре группы с равными интервалами.

По каждой группе и совокупности рабочих в целом подсчитайте:

Их число;

Среднюю электровооруженность труда;

Дисперсию и среднее квадратическое отклонение;

Коэффициент вариации.

Постройте гистограмму и полигон распределения рабочих. Сделайте вывод.

Решение

Группировка рабочих по электровооруженности труда.

1. Найдем минимальное и максимальное значение варианты данной совокупности по признаку возраста:

Min = 20 кВт·ч;

Мах = 28 кВт·ч.

Опредилим размах вариации:

D =28 - 20=8 (кВт·ч);

Тогда величина интервала составит:

d = (28 - 20) / 4 = 2 (кВт·ч).

2. Определим границы интервалов (групп) и их середины:

Таблица 1

4. Определим принадлежность каждого рабочего к определенному интервалу (произведем группировку)

В группу 1 (границы: 20 - 22) входят рабочие:

№8 (Электровооруженность труда =20,0 кВт·ч)

№9 (Электровооруженность труда =21,4 кВт·ч)

№19 (Электровооруженность труда = 21,9 кВт·ч)

Количество человек в 1_ой группе = 3

В группу 2 (границы: 22 - 24) входят рабочие:

№2 (Электровооруженность труда = 23,0 кВт·ч)

№13 (Электровооруженность труда = 23,3 кВт·ч)

№14 (Электровооруженность труда = 22,1 кВт·ч)

№16 (Электровооруженность труда = 22,6 кВт·ч)

№17 (Электровооруженность труда = 23,6 кВт·ч)

№20 (Электровооруженность труда = 23,8 кВт·ч)

Количество человек во 2_ой группе = 6

В группу 3 (границы: 24 - 26) входят рабочие:

№1 (Электровооруженность труда = 24,7 кВт·ч)

№3 (Электровооруженность труда = 24,0 кВт·ч)

№6 (Электровооруженность труда = 24,3 кВт·ч)

№7 (Электровооруженность труда = 24,7 кВт·ч)

№10 (Электровооруженность труда = 25,0 кВт·ч)

№15 (Электровооруженность труда = 25,8 кВт·ч)

№18 (Электровооруженность труда = 25,9 кВт·ч)

Количество человек в 3_й группе = 7

В группу 4 (границы: 11 - 13) входят рабочие:

№4 (Электровооруженность труда = 28,0 кВт·ч)

№5 (Электровооруженность труда = 26,3 кВт·ч)

№11 (Электровооруженность труда = 27,4 кВт·ч)

№12 (Электровооруженность труда = 26,7 кВт·ч)

Количество человек в 4_й группе = 4

5. Определим среднюю электровооруженность труда по каждой группе рабочих в отдельности и по всей совокупности в целом:

Группа 1 х1 = (19,0 + 20,4 + 20,9) / 3 = 20,1 (кВт·ч)

Группа 2 х2 = (22,0 + 22,3 + 21,1 + 21,6 + 22,6 + 22,8) / 6 = 22,1 (кВт·ч);

Группа 3 х3 = (23,7 + 23,0 + 23,3 + 23,7 + 24,0 + 24,8 + 24,9) / 7 = 23,9

(кВт·ч);

Группа 4 х4 = (27,0 + 25,3 + 26,4 + 25,7) / 4 = 26,1 (кВт·ч).

По совокупности в целом:

Х = (20 · 3 + 22 · 6 + 24 · 7 + 26 · 4) / 20 = 23,2 (кВт·ч)

6. Определим дисперсию по каждой группе рабочих в отдельности и по всей совокупности в целом:

Группа 1 21 = ((19,0 - 20,1)2 + (20,4 - 20,1)2 + (20,9 - 20,1)2) / 3 = 0,65.

Группа 2 22 = ((22,0 - 22,1)2 + (22,3 - 22,1)2 + (21,6 - 22,1)2 + (21,1 -

-22,1)2 + (22,6 - 22,1)2 + (22,8 - 22,1)2) / 6 = 0,34.

Группа 3 23 = ((23,7 - 23,9)2 + (23 - 23,9)2 + (23,3 - 23,9)2 + (23,7 - 23,9)2

+ (24,0 - 23,9)2+ (24,8 - 23,9)2 + (24,9 - 23,9)2) / 7 = 0,44.

Группа 4 24 = ((27,0 - 26,1)2 + (25,3 - 26,1)2 + (26,4 - 26,1)2 + (25,7 -

26,1)2) / 4 = 0,42.

По совокупности в целом:

2 = ((20 - 23,2)2 ·3+ (22 - 23,2)2 · 6+ (24 - 23,2)2 · 7+ (26 - 23,2)2 · 4) / 20 =3,76

7. Определим среднее квадратическое отклонение по каждой группе рабочих в отдельности и по всей совокупности в целом:

Группа 1 1 = 0,65= 0,8. (кВт·ч)

Группа 2 2 = 0,34 = 0,58 (кВт·ч)

Группа 3 3 = 0,44 = 0,66 (кВт·ч)

Группа 4 4 = 0,42 = 0,65 (кВт·ч)

По совокупности в целом:

= 3,76 = 1,94 (кВт·ч).

8. Определим коэффициент вариации по каждой группе рабочих в отдельности и по всей совокупности в целом:

Группа 1 v1 = 0,8 / 20,1 = 0,040 (4,0%).

Группа 2 v2 = 0,58 / 22,1 = 0,026 (2,6%).

Группа 3 v3 = 0,66 / 23,9 = 0,028 (2,8%).

Группа 4 v4 = 0,65 / 26,1 = 0,025 (2,5%).

По совокупности в целом:

V = 1,94 / 23,2 = 0,084 (8,4%).

Таблица 1. Группировка рабочих по электровооруженности труда

Выводы

Расчет средней и показателей по данным сгруппированного массива

Цель - научиться производить расчеты на ЭВМ по данным интервального вариационного ряда. Рассчитать среднюю, среднее квадратическое отклонение. Построить полигон и гистограмму. Проанализировать полученные данные.

Расчет средней, дисперсии и среднего квадратического отклонение производя по формулам (1) и (3). Однако в качестве вариант в задачах приведены так называемые «открытые» варианты. В начале следует закрыть варианты, а затем, найдя полу сумму интервалов, ввести их в программу в виде усредняемых значений признака xi и fi - частоты повторения каждой варианты.

Среднее линейное отклонение L - есть средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений вариант от средней и определяется по формуле:

L=((Xi-X)*fi)/fi

Согласно формуле в начале находят абсолютные отклонения каждой варианты от средней ((Xi-X), а затем каждое абсолютное отклонение взвешивают ((Xi-X)*fi), суммируют взвешенные абсолютные отклонения ((Xi-X)*fi) и это суммы делят на сумму частот (fi).

Задача 1

В целях изучения норм расхода сырья на единицу продукции из партий изделий проведена двухпроцентная механическая выборка, в результате которой получена двухпроцентная механическая выборка, в результате которой получено следующее распределение

Определите:

средний расход сырья на одно изделие;

дисперсию и среднее квадратическое отклонение;

среднее линейное отклонение;

коэффициент вариации.

Решение предоставьте в таблице. Поясните значение исчисленных

показателей.

Решение

Для упрощения решения представим его в виде таблицы и для нахождения средней и дисперсии воспользуемся способом моментов:

1. Для нахождения средней и дисперсии воспользуемся способом моментов: Х=m1 · i +A; 2 = i 2 (n ·(m2 - m1 2);

m1= ((X - A) ·f / i))/f; m2= ((X - A) / i) 2·f)/f;

где

m1, m2 - соответственно моменты первого и второго порядка;

i - величина интервала;

А - варианта, имеющая наибольшую частоту;

F - значение весов или частот каждой варианты.

Наиболее частото встречаются изделия с расходом сырья на единицу продукции =23 г. Значит А=23 (г.).

Определим величину интервала (визуально видно, что интервалы имееют равную величину):

I=22-20=24-22=26-24=2 (г.)

На основании расчетов представленных в таблице найдем Х и 2:

Х= (3/185) · 2 + 23=23,03 (г.)

2 = 4 · ((265/185) - (3/185) 2)= 4 · (1,43 - 0)=5,72

Найдем среднее квадратическое отклонение:

=v5,72=2,39 (г.)

2. Определим среднее линейное отклонение:

L= 332/185=1,79 (г.)

3. Определим коэффициент вариации:

V=1,79/23,03=0,078 (7,8%).

Вывод

На основании проведенных расчетов можно сделать следующие выводы:

- средний расход сырья на единицу изделия равен ? 23 г.

- среднее квадратическое отклонение показывает, что возможно отклонение от среднего расхода сырья на единицу продукции как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения на 2,39 г., что составляет 7,8% (см. коэффициент вариации).

- среднее линейное отклонение также показывает возможное отклонение от среднего расхода сырья на единицу продукции как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, но менее точно, чем среднее квадратическое отклонение, и составляет 1,79 г.

Лабораторная работа №3

Задача 2

Имеются следующие данные о распределении рабочих по возрасту работы двух заводов и объединения

Определите:

средний возраст работы одного рабочего по каждому заводу и по объединению в целом;

дисперсию для каждого завода (внутригрупповую) и для объединения в целом (общую);

среднюю из внутригрупповых дисперсий;

межгрупповую дисперсию;

корреляционное отклонение.

Проверьте правило сложения дисперсий. Поясните сущность исчисленных показателей.

Решение

1. Определим средний возраст работы одного рабочего по каждому заводу и по объединению в целом.

Так как нам дан интервальный ряд с равными интервалами, то определим сначала середины интервалов и полученные данные занесем в таблицу.

Таблица 1

Средний возраст работы одного рабочего на заводе 1:

Х1 = (2,5 ? 67 + 7,5 ? 125 + 12,5 ? 162 + 17,5 ? 89 + 22,5 ? 42)/485=11,6 (лет).

Средний возраст работы одного рабочего на заводе 2:

Х2 = (2,5 ? 32 + 7,5 ? 77 + 12,5 ? 119 + 17,5 ? 70 + 22,5 ? 37)/335=12,5 (лет).

Средний возраст работы одного рабочего на объединении в целом:

Х =(2,5 ? 99 + 7,5 ? 202 + 12,5 ? 281 + 17,5 ? 159 + 22,5 ? 79)/820=12,0 (лет).

2. Определим дисперсию для каждого завода в отдельности (внутригрупповую) и по объединению в целом:

Дисперсия на заводе 1:

2 1= ((2,5-11,6) 2 ? 67 + (7,5-11,6) 2 ? 125 +(12,5-11.6) 2 ? 163 + (17,5 -11,6)2? 89 + (22,5-11,6) 2 ? 42)/485=32,72;

Дисперсия на заводе 1:

22=((2,5-12,5) 2 ? 32 + (7,5-12,5) 2? 77 + (12,5-12,5) 2 ?119 + (17,5-12,5) 2? 70+ (22,5-12,5) 2 ? 37)/335=31,57

Дисперсия по объединению в целом (общую дисперсию):

u 2=((2,5-12.0) 2 ? 99 + (7,5-12,0) 2 ? 202 + (12,5-12,0) 2 ? 281 + (17,5-12,0) 2 ?159 + (22,5-12,0) 2 ? 79)/820=32,46

3. Определим среднюю из внутригрупповых дисперсий:

2 =(32,72+31,57) /2=32,15

4. Определим межгрупповую дисперсию:

2 = ((11,6-12,0) 2 ?485 +(12,5-12,0) 2 ?335)/820=0,20

5. Определим среднее квадратическое отклонение для каждого завода в отдельности и по объединению в целом:

Завод 1:

1=v32,72=5,72 (лет).

Завод 2:

2=v31,57=5,62 (лет).

Объединение:

=v32,46=5.7 (лет).

6. Определим корреляционное отклонение (коэффициент вариации):

Корреляционное отклонение (коэффициент вариации) для завода 1:

? =v32,72 /11,6=0,493 (49,3%);

Корреляционное отклонение (коэффициент вариации) для завода 2:

? = v31,57 /12,5=0,449 (44,9%);

Корреляционное отклонение (коэффициент вариации) по объединению в целом (общее):

? = v32,46 /12,0=0,475 (47,5%).

7. Проверим правило сложения дисперсий:

u 2= 32,17 +0,2=32,37?32,46

Выводы

На основании проведенных расчетов можно сделать следующие выводы:

- средний возраст работы одного рабочего на заводе 1 равен 11,6 лет, на заводе 2 -12,5 лет и по объединению в целом -12,0 лет.

- в среднем отклонение от среднего возраста работы одного рабочего, как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения по заводу 1 составляет 5,72 лет (или 49,3%), по заводу 2 -5,62 лет (или 44,9%), по объединению в целом -5,7 лет (или 47,5%).