Групповые дисперсии. Агрегатный индекс себестоимости

21

Задача 1. По данным о производственной деятельности ЗАО определить средние затраты на 1 руб. произведенной продукции в целом по ЗАО.

Таблица 1 - Исходные данные

Решение:

Для определения средних затрат на 1 рубль произведенной продукции необходимо воспользоваться средней гармонической, так как у нас известен числитель и неизвестен знаменатель. Для определения средней строим вспомогательную таблицу.

Таблица 2 - Вспомогательная

Так средние затраты на 1 рубль продукции рассчитываются по формуле

,

где х - признак (варианта) - индивидуальные значения усредняемого признака; показатель, представляющий собой реально существующий экономический показатель равный х• f:

Данные берутся из таблицы.

Ответ: Средние затраты на 1 рубль произведенной продукции равны 72 коп.

Задача 2. По данным 10% -го выборочного обследования рабочих по стажу работы, результаты которого приведены ниже, определить:

1) относительную величину структуры численности рабочих;

2) моду и медиану стажа рабочих;

3) средний стаж рабочих цеха;

4) размах вариации;

5) среднее линейное отклонение;

6) дисперсию;

7) среднее квадратическое отклонение;

8) коэффициент вариации;

9) с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется средний стаж рабочих в целом по предприятию;

10) с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется доля рабочих, имеющих стаж работы более 10 лет в целом по предприятию. Сделать выводы.

Таблица 3 - Исходные данные

Решение:

1) Находим относительную величину структуры численности рабочих, для этого строим следующую таблицу.

Таблица 4 - Относительная структура численности рабочих

2) Находим моду и медиану стажа рабочих. Для этого строим вспомогательную таблицу.

Таблица 5 - Вспомогательная.

Мода - это наиболее часто встречающееся значение ряда:

,

где - мода; - нижняя граница модального интервала. Интервал с максимальной частотой является модальным; - шаг модального интервала, который определяется разницей его границ; fmo - частота модального интервала; fmo-1 - частота интервала, предшествующего модальному; fmo+1 - частота интервала, последующего за модальным.

Медианой является значение признака х, которое больше или равно и одновременно меньше или равно половине остальных элементов ряда распределения. Медиана делит ряд на две равные части:

,

где xme - нижняя граница медианного интервала. Интервал, в котором находится порядковый номер медианы, является медианным. Для его определения необходимо подсчитать величину . Интервал с накопленной частотой равной величинеявляется медианным; i - шаг медианного интервала, который определяется разницей его границ; - сумма частот вариационного ряда; Sme-1- сумма накопленных частот в домедианном интервале; fme - частота медианного интервала.

3) Находим средний стаж рабочих цеха:

,

где х - признак (варианта) - индивидуальные значения усредняемого признака, в качестве которого берется середина интервала, определяемая как полусумма его границ;

f - частота, т.е. числа, показывающие, сколько раз повторяется та или иная варианта.

Сравниваем полученные значения, в нашем случае получаем:

,

что говорит о левосторонней асимметрии.

По этим данным можно сделать вывод о том, что средний стаж рабочих составляет 7,05 лет; наиболее часто встречаются рабочие со стажем 7,263 года. Кроме того, половина рабочих имеет стаж более 7,166 лет, а другая - менее 7,166 лет.

4) Находим размах вариации.

Размах вариации:

,

где хmax - максимальное значение признака; х min - минимальное значение признака.

Так, разница между максимальным значением признака и минимальным составляет 12.

5) Находим среднее линейное отклонение:

,

где - индивидуальные значения признака, - средняя величина; f - частота.

Строим расчетную таблицу.

Таблица 6 - Расчетная

.

Так средний абсолютный разброс значений вокруг средней составил 2,362. То есть работники отличаются по стажу друг от друга в среднем на 2,362 года.

6) Находим дисперсию:

7) Находим среднее квадратическое отклонение:

.

Средний разброс стажа от среднего стажа в 7,05 лет составляет 3,097.

8) Находим коэффициент вариации:

.

Так как коэффициент вариации больше 33%, то это говорит о высокой степени неоднородности совокупности.

9) Находим с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется средний стаж рабочих в целом по предприятию.

Границы генеральной средней:

,

где - генеральная средняя, - выборочная средняя, Д- предельная ошибка выборочной средней:

,

где - коэффициент доверия, зависящий от вероятности исследования: при вероятности 0,954 t = 2, а при вероятности 0,997 t = 3; n - объем выборочной совокупности;

N - объем генеральной совокупности;

- доля отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную;

- дисперсия признака выборочной совокупности.

Так, находим предельную ошибку выборочной средней:

.

Тогда пределы, в которых изменяется средний стаж рабочего, будут:

10) с вероятностью 0,997 пределы, в которых изменяется доля рабочих, имеющих стаж работы более 10 лет в целом по предприятию. Сделать выводы.

Границы генеральной доли:

,

где р - генеральная доля, - выборочная доля:

,

где - число единиц, обладающих данным или изучаемым признаком; n - объем выборочной совокупности; - предельная ошибка доли:

,

где n - объем выборочной совокупности;

N - объем генеральной совокупности;

- доля отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Тогда доля работников со стажем больше 10 лет будет изменяться в пределах:

Задача 3. Для установления зависимости между урожайностью и сортом винограда в одном из хозяйств на основе выборки определили урожай на 8 кустах винограда.

Таблица 7 - Исходные данные

Исчислить общую, межгрупповую и среднюю из групповых дисперсий.

Определите связь между сортом и его урожайностью, рассчитав коэффициент детерминации.

Сделать вывод.

Решение:

,

где - общая дисперсия; - средняя из групповых дисперсий; - межгрупповая дисперсия.

Величина общей дисперсии характеризует вариацию признака под влиянием всех факторов, формирующих уровень признака у единиц совокупности.

где - общая средняя арифметическая для всей изучаемой совокупности; _ значение признака (варианта).

Средняя из групповых дисперсий характеризует случайную вариацию, возникающую под влиянием других неучтенных факторов, и не зависит от условия (признака-фактора), положенного в основу группировки;

,

где fi - число единиц в определенной i - й группе; - дисперсия по определенной i - й группе:

,

где - средняя по определенной i - й группе.

Межгрупповая дисперсия отражает систематическую вариацию, т.е. те различия в величине изучаемого признака, которые возникают под влиянием фактора, положенного в основу группировки:

.

Находим среднюю из групповых дисперсий. Для этого находим дисперсию по каждой группе. Строим расчетную таблицу.

Таблица 8 - Расчетная

Получаем следующие значения, которые сводим в таблицу.

Таблица 9 - Десперсии по группам

Рассчитываем среднюю из групповых дисперсий:

,

Таким образом, разброс значений за счет неучтенных факторов составляет 0,75 кг.

Находим межгрупповую дисперсию.

Для этого строим следующую вспомогательную таблицу.

Таблица 10 - Вспомогательная

.

Так, из-за того, что виноград разных сортов, урожайность в среднем отклоняется от среднего значения на 0,625 кг.

Находим общую дисперсию:

=0,75+0,625=1,375.

Так, под влиянием всех факторов урожайность отклоняется от среднего значения на 1,375 кг.

Задача 4. Имеются следующие данные о выпуске продукции на одном из предприятий.

Таблица 11 - Исходные данные

Определить:

1) агрегатный индекс себестоимости, агрегатный индекс физического объема продукции и общий индекс затрат на производство;

2) абсолютное изменение затрат на производство - общее и за счет изменения себестоимости единицы продукции и физического объема производства. Сделать выводы.

Решение:

1) Находим агрегатный индекс себестоимости, агрегатный индекс физического объема продукции и общий индекс затрат на производство. Для этого строим расчетную таблицу.

Таблица 12 - Расчетная

Агрегатный индекс себестоимости:

,

где - себестоимость в отчетном и базисном периоде соответственно; - физический объем производства в отчетном периоде;

Агрегатный индекс физического объема произведенной продукции:

,

где , q0 - физический объем производства в отчетном и базисном периоде соответственно; - себестоимость в отчетном периоде;

Агрегатный индекс затрат на производство равен:

.

Таким образом, изменение себестоимости каждого вида продукции увеличили общие затраты производства на 7,4%. Под влиянием изменения объемов производства общие затраты выросли на 7,5%. А под влиянием этих обоих факторов - на 15,4%.

2) Находим абсолютное изменение затрат на производство - общее и за счет изменения себестоимости единицы продукции и физического объема производства.

Общее абсолютное изменение затрат на производство:

=1596155-1382200=213955 млн. руб.

Абсолютное изменение затрат на производство за счет изменения себестоимости, т.е. роль себестоимости в изменении затрат на производство:

=1596155-1486100=110055 млн. руб.

Абсолютное изменение затрат на производство за счет изменения физического объема производства, т.е. роль физического объема в изменении затрат на производство:

=1486100-1382200=103900 млн. руб.

103900+110055=213955

Таким образом, изменение в себестоимости в большей степени повлияло на изменение общих затрат на производство.

Задача 5. Имеются следующие данные о затратах на производство продукции растениеводства.

Таблица 13 - Исходные данные

Вычислить общие индексы затрат на производство, себестоимости и физического объема. Сделать выводы.

Решение:

Для нахождения индексов строим вспомогательную таблицу.

Таблица 14 - Расчетная

Средний арифметический индекс физического объема произведенной продукции:

,

где - индивидуальный индекс физического объема произведенной продукции; z0, q0 - себестоимость, физический объем произведенной продукции в базисном периоде соответственно; - затраты на производство в базисном периоде.

Так, за счет изменения объемов производства общие затраты на производство выросли на 2,5%.

Средний гармонический индекс себестоимости:

,

где - индивидуальный индекс себестоимости; z1, q1 - себестоимость, физический объем произведенной продукции в отчетном периоде соответственно; товарооборот (стоимость) реализованной продукции в отчетном периоде.

Так, за счет изменения в себестоимости каждой продукции общие затраты на производство продукции выросли на 2,8%.

Общий индекс затрат на производство:

Изменение затрат под влиянием обоих составит - 5,4%.

Задача 5. Рассчитать:

1) индексы урожайности переменного состава;

2) индекс урожайности постоянного состава;

3) индекс влияния структурных сдвигов. Сделать выводы.

Таблица 15 - Исходные данные

Решение:

Для решения данной задачи также строим вспомогательную таблицу.

Таблица 16 - Вспомогательная

Индекс переменного состава представляет собой соотношение средних уровней изучаемого показателя. Индекс урожайности переменного состава:

.

Индекс постоянного состава отражает изолированное влияние осредняемого показателя у отдельных единиц совокупности. Индекс урожайности постоянного состава:

.

Индекс структурных сдвигов характеризует влияние изменения структуры изучаемой совокупности. Индекс структурных сдвигов:

.

Таким образом, общая урожайность выросла на 19% под влиянием изменения структуры посевных площадей. Под влиянием изменения урожайности каждой посевной площади общая урожайность выросла на 8,8%. В целом под влиянием этих обоих факторов урожайность посевов выросла на 11,8%

Задача 6. По имеющимся данным числе умерших в Хабаровском крае за 2000 - 2005 гг. рассчитать: за каждый год:

1) абсолютный пророст (базисный и цепной);

2) темп роста (базисный и цепной);

3) темпы прироста базисный и цепной);

4) абсолютное значение 1% прироста; в целом за период: 5) средний уровень ряда;

6) средний абсолютный прирост;

7) средний темп роста;

8) средний темп прироста. Сделать выводы.

Таблица 17 - Исходные данные

Решение:

Для определения абсолютных приростов, темпов роста и темпов прироста строим расчетную таблицу 18. Показатели, заносимые в таблицу, рассчитываются следующим образом:

1. Абсолютный прирост:

А) цепной:

,

где уi - уровень ряда динамики за изучаемый период, уi-1 - уровень ряда динамики за период предшествующий изучаемому;

Б) базисный:

,

где уо - начальный уровень ряда динамики;

2. Темп роста:

А) цепной:

;

Б) базисный:

;

3. Темп прироста: А) цепной:

или ;

Б) базисный:

или ;

4. Абсолютное значение 1% прироста:

или .

Таблица 18 - Показатели динамики

Далее рассчитываем средние показатели динамики.

1) средний уровень ряда динамики для интервального ряда:

,

где уi - уровни ряда динамики, n - число уровней ряда динамики;

2) средний абсолютный прирост:

,

где уn - конечный уровень ряда;

3) средний темп роста:

,

4) средний темп прироста

. =102,1-100=2,1

Так, в среднем за эти годы умирало 22334 человек в год. В среднем количество умерших в год возрастало с каждым годом на 466 человек, или на 2,1%.

1. ???????? ?.?., ??????? ?.?. ????? ?????? ??????????: ??????? / ?.?. ????????, ?.?. ???????. - ?.: ??????? ? ??????????, 2004. - 565 ?.

2. ??????????: ????.-?????. ??????? /??? ???. ?.?. ????????. - ?.: ??????, 2006 - 480 ?.

3. ?????? ??????????: ??????? /??? ???. ?.?. ???????. - ?.: ?????-?., 2000. - 414 ?.