Метод главных компонент

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ВОСТОЧНО-СИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

(ГОУ ВПО ВГТУ)

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И ПРАВА

Кафедра «Макроэкономика, экономическая информатика и статистика»

Индивидуальное задание по МСА

Метод главных компонент

Выполнила: ст-ка гр 527

Горюнова Зинаида

Проверила: Орехова Р.А.

Улан-Удэ

2009

Задача

Провести компонентный анализ на основе показателей Х1 - товарооборот единицы продукции, Х2 - цена продукции. По данным годовых отчетов 6 предприятий имеем:

Решение

1 ЭТАП

1. Определим среднее значение показателей Х1 и Х2 и их среднеквадратическое отклонение

2. Постоим матрицу коэффициентов корреляции, если R12 = 0.28

R= =

3. Оценим вклад в суммарную дисперсию первой и второй компоненты. Преобразуем матрицу R в диагональную матрицу Л собственных значений характеристического многочлена ¦лE - R¦

¦лE - R¦ = = = (л - 1)2 - (-0.28)2 = 0

л - 1 = ф

ф2 - 0,282 = 0 ф = ±0.28

ф1 = 0.28 ф2 = -0.28

л1 - 1 = ф1 л2 - 1 = ф2

л1 - 1 = 0.28 л2 - 1 = -0.28

л1 = 1.28 л2 = -0.72

лj упорядочены, т.е. л1 > л2

D = ? лj = л1 + л2 = k = 2

Вклад в суммарную дисперсию первой главной компоненты можно подсчитать так:

(Лr/ m)*100%

л1/2 *100% = 64%

л2/2*100% = 36%

Вывод: расчеты показали, что оба фактора Х1 и Х2 необходимы для включения в дальнейшие расчеты.

2 ЭТАП.

Рассчитаем элементы матрицы нормированных собственных векторов U, т.е. ортогональную матрицу, составленную из собственных векторов матрицы R Собственный вектор Uj, отвечающий собственному числу лj, находится как отличное от 0 решение уравнения (лjE - R) = 0

Т.к. определитель ¦лE - R¦= 0, то строки системы линейно зависимы.

Составим нужные нам 2 уравнения.

j =1 ¦л1E - R¦= 0

(л1 - 1)u11 + (-r12)u21 = 0

-r21u11 + (л1 - 1)u21 = 0

Видим, что система линейных уравнений зависима. Это значит, что для нахождения параметров можно воспользоваться только одним из уравнений. Используем только первое.

(л1 - 1)u11 + (-r12)u21 = 0

0.28 u11 - 0.28 u21 = 0

Примем u11 = 1, тогда u21 = 1

U1 = (1,1)

Находим норму вектора U1

¦U1¦ = v uij2 = v u11 2 + u212 = v2 = 1.41

v1 = u1/ ¦u1¦=

Повторяем эту операцию для j = 2 ¦л1E - R¦= 0

(л2 - 1)u12 + (-r12)u22 = 0

-r21u12 + (л2 - 1)u22 = 0

Также выбираем первое уравнение

(л2 - 1)u12 + (-r12)u22 = 0

Примем u12 =1, тогда u22 = -1

U2 = (1,-1)

¦ U2¦ = v uij2 = v u12 2 + u222 = v2 = 1.41

V2 = u2/ ¦u2¦=

U =

Данная матрица является ортогональной.

UUT = UTU = E

UT=

* = =

3 ЭТАП

А = U Л Ѕ

Л Ѕ = =

A = =

?ajr2 = лr

л1 = a112 + a212 = 0.64 + 0.64 = 1.28

л2 = a122 + a222 = 0.36 + 0.36 = 0.72

Из матрицы факторных нагрузок А видно, что первая главная компонента имеет одинаковую тесноту связи 0.80 с обоими признаками Х1 и Х2. Вторая главная компонента также определяется признаками Х1 и Х2, но со вторым признаком связь обратная -0.60

В результате анализа можно сказать, что первая главная компонента, складывающаяся под влиянием обоих факторов, может быть интерпретирована как фактор, характеризующий уровень организации в отрасли.

4 ЭТАП.

Рассчитаем элементы матрицы F значений главных компонент

F = A-1z = Л-ЅUTz

m=2, n=6

Строим матрицу нормированных значений z

zji = (xij - xj)/ sj

z11 = (x11 - x1)/s1 = = 2.14

z12 = 4.29

z13 = -4.29

z14 = -5.71

z15 = 1.42

z16 = 0

z21 = (x12 - x2)/s2 = = 3.46

z22 = 2.69

z23 = -1.92

z24 = 1.15

z25 = -3.84

z26 = -0.77

z =

Значения главных компонент получаем из выражения

fr1 =( 1/ vлl )*? uilzji

l = 1,2

f11 = 1/vл1 (u11z11 +u21z21) = (0.71*2.14 + 0.71*3.46) = 0.88(1.519 + 2.456) = 3.50

f12 = 4.36

f13 = -3.88

f14 = -2.85

f15 = -1.51

f16 = -0.48

f21 = 1/vл2 (u12z11 +u22z21) = (0.71*2.14 - 0.71*3.46) = 1.18(1.519 - 2.456) = 1.11

f22 = 0.99

f23 = -1.48

f24 = -4.30

f25 = 3.30

f26 = 0.48

Таким образом, матрица значений главных компонент имеет вид:

F =

Элементы каждого столбца характеризуют предприятия в пространстве главных компонент

По рисунку видно, что организация производства в отрасли не стабильна.