Методы статистических исследований

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

ЮЖНО-УРАЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ФАКУЛЬТЕТ ПРАВА И ФИНАНСОВ

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

По курсу: «Статистика»

Выполнил: студент группы ПФ-176\з

Исаенко В.В.

Проверил: Земцова Е.М.

Челябинск

2008

Задача 1

Для изучения выполнения плана рабочими завода было проведено десятипроцентное выборочное обследование по методу случайного бесповторного отбора. Результаты обследования показали следующее распределение рабочих по проценту выполнения норм выработки:

На основании этих данных вычислить:

1) средний процент выполнения нормы;

2) моду и медиану;

3) размах вариаций;

4) среднее линейное отклонение;

5) дисперсию;

6) среднее квадратичное отклонение;

7) коэффициент вариации, оцените однородность совокупности;

8) с вероятностью 0,954 возможные пределы, в которых ожидается средний процент выполнения норм выработки по заводу;

9) с вероятностью 0,954 возможные пределы доли рабочих, выполняющих нормы выработки более, чем на 110%.

Сделать выводы.

Решение:

Перед нами представлен ряд с равными интервалами. Интервал равен 10. И один отрытый интервал «до 90». Так как следующий за открытым интервал равен 10 следовательно при расчетах получим границу верхнего интервала, она будет равна «80-90».

1) Найдем середины интервалов по формуле:

Получаем следующие значения: 85, 95, 105, 115, 125.

Используя среднюю арифметическую взвешенную, определим средний процент выполнения нормы:

Средний процент выполнения нормы равен 107,6%.

2)Рассчитаем моду:

= 100+10

Таким образом, наиболее часто встречающееся значение процента выполнения нормы равно 107,06%

Рассчитаем медиану:

Подставляем значения:

- нижняя граница медианного интервала «100-110», равная 100;

- величина медианного интервала, равная 10:

- накопленная частота интервала, предшествующая медианному, равная 20:

полусумма частот, равная 50:

соответственно полусумма равна 50;

- частота медианного интервала, равная 40.

3) Рассчитаем размах вариаций - разность между самым большим и самым малым наблюдаемыми значениями признака:

R=Xmax - Xmin = 130-80 = 50

4) Рассчитаем среднее линейное отклонение . Эта величина определяется как средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений и . Так как сумма отклонений значений признака от средней величины равна нулю, то все отклонения берутся по модулю.

Формула среднего линейного отклонения для нашего случая:

Найдем середину интервалов, определим произведения значений середины интервалов на соответствующие им веса и подсчитаем сумму их произведений, рассчитаем абсолютные отклонения середины интервалов от средней велечины, вычислим произведения отклонений на их веса и подсчитаем сумму их произведений.

Средняя величина нами рассчитана в первом пункте задания и равна

Рассчитываем среднее линейное отклонение:

Таково в среднем отклонение вариантов признака от их средней величины. Это отклонение по сравнению со средней величиной признака небольшое. Оно отличается от средней на 99,68%. Это свидетельствует о том, что данная совокупность в отношении нашего признака однородна, а средняя - типична.

5) Дисперсия есть не что иное, как средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от его средней величины.

Формула дисперсии для нашего случая:

Рассчитаем данные и заполним таблицу:

6)Среднее квадратическое отклонение показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты признака от среднего значения и равно корню квадратному из дисперсии:

Степень вариации в данной совокупности невелика, так как средняя величина выполнения нормы равна 107,6%. Это говорит об однородности рассматриваемой совокупности.

7) коэффициент вариации, оцените однородность совокупности:

Так как коэффициент вариации в нашем примере меньше 33% совокупность считается однородной.

8) вычислить с вероятностью 0,954 возможные пределы, в которых ожидается средний процент выполнения норм выработки по заводу.

Для определения заданных пределов нам необходимо рассчитать предельную ошибку выборки по формуле:

где:

t - коэффициент доверия, для нашего случая равен 2;

- выборочная дисперсия;

N - численность генеральной совокупности, так как наша выборка десятипроцентная, то N = 1000;

n - численность выборки.

Определим заданные пределы по формуле:

или

С вероятностью 0,954 можно утверждать, что средний процент выполнения норм выработки по заводу будет находиться в пределах от 105,75% до 109,45%.

9) с вероятностью 0,954 возможные пределы доли рабочих, выполняющих нормы выработки более, чем на 110%

Согласно результатам обследования, численность таких рабочих составила 40 человек, определим выборочную долю:

Внутригрупповая дисперсия доли определяется по формуле:

Предельная ошибка выборки с заданной вероятностью составит:

Определим границы пределов:

или

Следовательно, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что для рабочих, выполняющих нормы выработки более, чем на 110% находится в пределах от 0,307 до 0,493%.

Задача 2

Себестоимость продукции завода характеризуется следующими данными:

Для завода по трем видам изделий вместе определите:

1) общий индекс затрат на продукцию;

2) общий индекс себестоимости продукции;

3) общий индекс физического объема продукции;

4) выполните факторный анализ;

Покажите взаимосвязь между индексами (а, б, в).

Решение:

Для выполнения расчетов заполним таблицу:

1) общий индекс затрат на продукцию:

2) общий индекс себестоимости продукции:

3) общий индекс физического объема продукции:

4) факторный анализ:

Изменение затрат на продукцию ?zq = ?z1q1 - ?z0q0 = 229,1-242 = -12,9 млн. руб.

Влияние фактора себестоимости 1 шт. ?z = ?z1q1 - ?z0q1 = 229,1 - 271,2 = -42,1 млн. руб.

Влияние фактора объема продукции ?q = ?zq - ?z = -12,9 - (- 42,1) = 29,2 млн. руб.

Между индексами а, б и в существует следующая взаимосвязь:

Izq = Iz * Iq = 0.845*1.121=0.947

Задача 3

Динамика средних цен и объема продажи продукта на колхозных рынках 2-х городов характеризуется следующими данными:

Вычислите:

1) Индекс цен переменного состава;

2) Индекс цен постоянного состава;

3) Индекс цен структурных сдвигов;

4) Изменение средней себестоимости (в абсолютных величинах) в целом и за счет действий отдельных факторов.

Покажите взаимосвязь исчисленных индексов.

Решение:

Индекс цен переменного состава рассчитывается по формуле:

Индекс цен постоянного состава рассчитывается по формуле:

Индекс структурных сдвигов рассчитывается по формуле:

Покажем взаимосвязь индексов:

Средняя себестоимость выросла на 19,1%. За счет структурных сдвигов себестоимость увеличилась на 58,1%. Если бы структура реализации продукта по городам не изменилась, средняя себестоимость увеличилась бы на 20,9 %.

Задача 4

Провести анализ динамики и факторов изменения фондоотдачи в целом по промышленности.

Решение:

1) Рассчитаем стоимость ОФ и заполним таблицу.

2) Фондоотдача в среднем по промышленности:

3) Для изучения динамики изменения фондоотдачи:

а) найдем индекс переменного состава

б) найдем индекс фиксированного состава

, где

доля стоимости основных фондов каждой отрасли в общем объеме отчетного периода

в) Индекс структурных сдвигов

4) Факторный анализ

Общее снижение фоноотдачи

В том числе за счет фактороф изменения фондоотдачи в каждой отрасли

Структурных сдвигов в составе основных фондов

Вывод: средняя фондоотдача в целом по промышленности снизилась в 0.995 раз. За счет изменения фондоотдачи в каждой отрасли средняя фондоотдача снизилась в 0.996 раз. За счет изменения структуры основных фондов средняя фондоотдача снизилась в 0.999.

Задача 5

Определить изменение скорости оборотных средств (дней) в отчетном периоде по сравнению с базисным и сумму средств высвобожденных из оборота вследствие ускорения оборачиваемости. Сделать выводы.

Решение:

Рассчитаем продолжительность одного оборота по формуле:

дн.

дн.

Скорость оборота оборотных средств в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 54-60=-6дн.

Сумма средств высвобожденных из оборота вследствие ускорения оборачиваемости:

Вывод: скорость оборота оборотных средств в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличилась на 6 дней и привела к высвобождению из оборота 66 у.е средств.

Задача 6

Выплавка стали характеризуется следующими показателями:

Для анализа ряда динамики исчислите:

1) показатели, характеризующие рост выплавки стали: абсолютные приросты, темпы роста и прироста (по годам и к базисному году). Результаты расчетов изложите в табличной форме;

2) средний уровень и среднегодовой темп ряда динамики;

3) покажите взаимосвязь между цепными и базисными показателями;

4) для определения основной тенденции ряда произведите выравнивание ряда динамики с помощью укрупнения интервалов.

Изобразите фактический и выровненный динамические ряды на графике.

Сделайте выводы.

Решение:

1) показатели, характеризующие рост выплавки стали: абсолютные приросты, темпы роста и прироста (по годам и к базисному году).

2) Средний уровень ряда уср = (у1+у2+у3+у4+у5+у6+y7+y8+y9+y10+y11+y12) / 12 = (91+96,9+102,2+106,5+110,3+ 116+119,6+125,3+130,8+136+139,8+145,2) / 12 = 118.3.

Средний темп роста ряда динамики определяется по формуле

или 104,3%

Средний темп прироста рассчитывается по формуле:

3) взаимосвязь между цепными и базисными показателями

а)

т.е.

б)

4) Выравнивание ряда динамики с помощью укрупнения интервалов проведем с помощью трехчленной скользящей средней.

96.7, 101.9, 106.3, 110.9, 115.3, 120.3, 125.2, 130.7, 135.5, 140.3.

Первую скользящую среднюю отнесем ко второму году, десятую отнесем к одиннадцатому году.

В результате укрупнения интервалов общая тенденция роста выступает отчетливо. В среднем ежегодно выплавлялось стали 101,4 млн.т. Каждый год объем выплавки увеличивался в среднем на 4.3%.

Задача 7

В отчетном периоде работа 24 предприятий характеризуется следующими данными:

Данные о работе предприятий в отчетном периоде

С целью выявления зависимости между стоимостью основных производственных фондов и выпуском продукции произведите группировку заводов по размеру основных фондов, образовав 6 групп заводов с равными интервалами. Результаты представьте в групповой таблице. Сделайте краткие выводы.

Итоговая таблица

Исследуйте зависимость между стоимостью продукции (результативный признак - у) и стоимостью основных производственных фондов (факторный признак - х). На основании исходных данных:

1) постройте поля корреляции; составьте корреляционную таблицу, определив число интервалов по правилу Стерджесса; нанесите эмпирическую линию регрессии на поле корреляции и сделайте выводы о возможной форме связи;

2) в целях синтезирования моделей зависимости задайте вид и вычислите параметры уравнения связи, нанесите полученную теоретическую линию регрессии на график;

3) для установления практической значимости полученной модели вычислите возможные показатели тесноты связи (коэффициент детерминации, эмпирическое и теоретическое корреляционные отношения, линейный коэффициент корреляции);

4) оцените надежность полученных коэффициентов, сделайте выводы по п.п. 2, 3 и 4.

5) используя полученную модель, сделайте прогноз стоимости продукции для предприятия со стоимостью основных фондов 14 млрд.рублей.

Решение:

1) Величина интервала i = (xmax -xmin)/n = (12700 - 700) / 6 = 2000 млн. руб.

Фондоотдача = Стоимость валовой продукции / Стоимость ОПФ.

Вывод: Между стоимостью ОПФ и валовой продукцией прямая связь, с ростом ОПФ растет и валовая продукция.

Построим поле корреляции по исходным данным задачи.

Составим корреляционную таблицу, определив число интервалов по правилу Стерджесса n = 1 + 3,322 lg24 = 6.

Корреляционная таблица зависимости между стоимостью продукции (у) и стоимостью основных производственных фондов (х)

;

По данным графика и корреляционной таблицы можно сделать вывод, что связь прямая.

2) Так как связь между признаками линейная:

Найдем и :

и

Уравнение регрессии имеет вид:

Для нанесения теоретической линии на график определим 2 пары точек:

3) Показатели тесноты связи

а) линейный коэффициент корреляции

Теснота связи очень высокая.

б) эмпирическое корреляционное отношение

где

- межгрупповая диспрсия результативного признака

- общая дисперсия результативного признака

Межгрупповая дисперсия:

где

- среднее значение результативного признака в соответствующих группах

- общая средняя результативного признака

- число наблюдений в соответствующей группе

;

Общая дисперсия

в) коэффициент детерминации

Коэффициент детерминации показывает, что 90,2% колеблемости результативного признака объясняется колеблемостью факторного признака.

г) теоретическое корреляционное отношение

где - сумма квадратов вследствие регрессии

- общая сумма квадратов

4) Оценка надежности полученных коэффициентов

где - средняя квадратическая ошибка коэффициента корреляции

t - коэффициент доверия

t = 2,56 при вероятности 0,9895

76,3 > 2.56

Рассчитанные коэффициенты тесности связи надежны с вероятностью 0.9895.

5) Модель тренда имеет вид:

Сделаем прогноз стоимости продукции для стоимости ОПФ 14 млрд. руб.

Т.е. при стоимости ОПФ 14 млрд. руб. объем валовой продукции составит 16,7 млрд. руб.