Основные понятия статистики

Единицы измерения абсолютных величин отражают технические или потребительские свойства и являются простыми, отражая одно свойство (например, масса груза в т.), а также сложными, отражая несколько свойств в их взаимосвязи (например, тонно-километр или киловатт-час).

Единицы измерения могут быть натуральными, условно-натуральными и стоимостными. Первые применяются для исчисления величин с однородными свойствами (например, штуки, тонны, погонные метры, квадратные метры и т.д.). Недостаток в том, что они не позволяют суммировать разнородные величины.

Условно-натуральные единицы измерения применяются к абсолютным величинам с однородными свойствами, но проявляющим их по-разному. Например, общая масса энергоносителей (дрова, торф, каменный уголь, нефтепродукты, природный газ) измеряется в т.у.т. -- тонны условного топлива, поскольку каждый его вид имеет разную теплотворную способность, а за стандарт принято 29,3 МДж/кГ. Аналогично общее количество школьных тетрадей измеряется в у.ш.т. -- условные школьные тетради размером 12 листов. Аналогично продукция консервного производства измеряется в у.к.б. -- условные консервные банки емкостью 1/3 литра. Аналогично продукция моющих средств приводится к условной жирности 40%.

Стоимостные единицы измерения выражаются в рублях или в иной валюте, представляя собой меру стоимости каждой абсолютной величины. Они позволяют суммировать даже разнородные величины, но недостаток в том, что при этом часто не учитывается негативное изменение экономических условий в виде инфляции. Поэтому статистика стоимостные величины всегда пересчитывает в сопоставимых ценах.

Смысловой набор абсолютных величин называется статистической совокупностью, в которой их можно группировать по характерным признакам: количественным и словесным.

Количественные признаки выражаются числами и могут быть дискретными и интервальными. Так, возраст человека по паспорту -- признак дискретный, а возраст группы людей (от и до) -- признак интервальный.

Словесные признаки выражаются словами и, если слов только два, признак называется альтернативным. Например, пол человека: мужской или женский. Если выражающих слов больше двух, то признак называется атрибутивным. Например, национальность, профессия и т.п.

Следует различать моментные и периодные абсолютные величины. Первые показывают фактическое наличие или количественный уровень явления на определенный момент времени или дату (например, наличие оборотных средств, количество денег в кармане и т.п.). Вторые - это итоговый накопленный результат за определенный период времени (например, выпуск продукции за месяц, квартал, год или заработная плата за месяц, квартал, год и т.д.). В отличие от моментных, периодные абсолютные величины допускают последующее суммирование.

Абсолютная статистическая величина обозначается X, а их общее количество в совокупности обозначается N. Количество величин с одинаковым значением признака обозначается f и называется повторяемость, встречаемость, частота. Естественно, Уf = N. Отношение f / N = f / Уf = d называется доля, удельный вес, частость.

Естественно, Уd = 1. В статистике, в отличие от математики, пределы суммирования не ставятся, а подразумеваются, т.к. абсолютные величины здесь не абстрактные, а смысловые.

Однако сами по себе абсолютные статистические величины не дают полного представления об изучаемом явлении, т.к. не показывают его структуру, соотношение между частями, взаимосвязь с другими абсолютными величинами, развитие во времени. Для этих целей служат относительные статистические величины.

Здесь и далее подиндексы означают: 1 -- отчетный или анализируемый период, 0 -- прошлый или базисный период.

Критериальным значением индекса динамики служит единица. Если он больше ее, имеет место рост явления; равен единице -- стабильность; если меньше единицы, наблюдается спад явления.

Еще одно название индекса динамики -- индекс изменения, вычитая из которого единицу получают темп изменения с критериальным значением нуль. Если он больше нуля, имеет место рост явления; равен нулю -- стабильность; если меньше нуля, наблюдается спад явления.

. (1.2)

В некоторых учебниках по Статистике индекс изменения назван темпом роста, а темп изменения -- темпом прироста, независимо от получаемого результата, который может показать стабильность или спад.

Если анализируемый и базисный периоды не являются соседними во временном ряду (например, год, предшествующий пятилетке и ее последний год), то найденный по формуле (1.1) индекс динамики или изменения будет общим, поэтому дополнительно определяется средний индекс по формуле

, (1.3)

где t -- количество периодов во временном ряду (например, в пятилетке t = 5).

Как и у общего, у среднего индекса критериальным значением служит единица с теми же выводами о характере изменения. Вычитанием из среднего индекса единицы получают средний темп изменения с критериальным значением нуль и аналогичными выводами о характере изменения явления.

На производстве применяются относительные величины, коэффициенты или индексы планового задания и выполнения плана. Первый определяется как отношение значений одной и той же абсолютной величины по плану анализируемого периода и по факту базисного. То есть

, (1.4)

где X'1 -- план анализируемого периода; X0 -- факт базисного периода.

Индекс выполнения плана представляет собой отношение значений одной и той же абсолютной величины по факту и по плану анализируемого периода, определяясь по формуле

(1.5)

Перемножая индексы планового задания и выполнения плана, получаем индекс динамики. То есть

(1.6)

Широко применяется также относительная величина, коэффициент или индекс структуры в виде отношения какой-либо части абсолютной величины ко всему ее значению. По существу это упоминавшаяся выше доля, удельный вес, частость, определяемая по формуле

. (1.7)

Например, если количество лиц женского пола (лжп) в группе студентов поделить на численность всей группы, то получится индекс структуры лжп.

Похожей является относительная величина, коэффициент или индекс координации как отношение какой-либо части абсолютной величины к другой ее части, принятой за основу. Определяется по формуле

. (1.8)

Например, если за основу принять количество лжп в группе студентов и на это число поделить количество лиц мужского пола (лмп) в ней, то получится индекс координации лмп относительно лжп.

Следующей является относительная величина, коэффициент или индекс сравнения в виде отношения значений одной и той же абсолютной величины в одном периоде или моменте времени, но для разных объектов или территорий. Определяется по формуле

, (1.9)

где А, Б -- признаки сравниваемых объектов или территорий.

Еще один вид относительных величин сравнения получают путем сопоставления индексов динамики разных явлений. В результате образуются индексы опережения или отставания в развитии одного явления по сравнению с другим. Так, если на предприятии производительность труда увеличилась на 12 %, а средняя зарплата только на 7,5 %, то рост производительности труда опережает рост зарплаты по индексу изменения на 112/107,5=1,042 или на 4,2 %, а по темпу изменения на 12/7,5=1,6 или на 60 %. Это и есть соответствующие индексы опережения. Индекс отставания роста зарплаты от роста производительности труда будет обратной величиной.

Перечисленные индексы являются безразмерными относительными величинами, а показателем, имеющим размерность, служит относительная величина интенсивности в виде отношения значений двух разнородных абсолютных величин для одного периода времени и одной территории или объекта. Для ее определения используется формула

. (1.10)

К показателям интенсивности относятся упомянутые выше себе стоимость, цена, энергоемкость продукции и другие относительные величины с дробной размерностью.

Взвешенная средняя величина рассчитывается по сгруппированным статистическим величинам с использованием следующей общей формулы

= (1.12)

При этом обозначено:

Xi - значения отдельных статистических величин или середин группировочных интервалов;

m - показатель степени, от значения которого зависят следующие виды степенных средних величин:

при m = -1 средняя гармоническая;

при m = 0 средняя геометрическая;

при m = 1 средняя арифметическая;

при m = 2 средняя квадратическая;

при m = 3 средняя кубическая и так далее.

Используя общие формулы простой и взвешенной средних при разных показателях степени m, получаем частные формулы каждого вида. Так, приняв m = 1, находим, что простая средняя арифметическая величина определяется по формуле

=. (1.13)

Аналогично для взвешенной средней арифметической величины получаем формулу через частоты или через доли (так как )

=. (1.14)

Не представляет трудностей и вывод формул для простых и взвешенных средних квадратических и кубических величин. Несколько сложнее вывод средней гармонической при m = -1. Так, используя формулу (1.11), имеем вначале

гм = = ,

а окончательно получим, что простая средняя гармоническая величина определяется по формуле

ГМ = , (1.15)

Аналогично выводится формула взвешенной средней гармонической величины, которая имеет следующий окончательный вид через частоты или через доли

ГМ = , (1.16)

Наиболее часто употребляются формулы средних арифметических и гармонических величин.

1. Если доли фирм относятся к текущим затратам (числитель показателя себестоимости), то ее среднее значение определяем по формуле (1.16) как среднюю гармоническую величину

= 1/ (0,3/5 + 0,2/3 + 0,4/4 + 0,1/6) = 4,1 (руб./ед.)

2. Если доли фирм относятся к количеству выпущенной продукции (знаменатель показателя себестоимости), то ее среднее значение находим по формуле (1.14) как среднюю арифметическую величину

= 5*0,3 + 3*0,2 + 4*0,4 + 6*0,1 = 4,3 (руб./ед.)

3. Если не сказано, к чему относятся доли фирм, то в дополнение к выполненным расчетам определяем среднюю себестоимость как простую среднюю величину из полученных результатов. То есть = (Sгм + Sар)/2 = 4,2 (руб./ед.)

Таким путем рассчитываются средние значения и других показателей с дробной размерностью.

Разновидностью простой средней арифметической служит средняя хронологическая величина, когда имеются моментные статистические величины на определенную одинаковую дату, например, на 1-е число каждого месяца в году. Формула средней хронологической теоретическому выводу не поддается и записывается приближенно в виде

. (1.17)

где Х1 и Xn -- первое и последнее значения статистической величины; Xi -- промежуточные значения; n -- общее число значений.

По такой формуле бухгалтерия определяет среднегодовую стоимость основных фондов, учитывая ее значения на 1-е число каждого месяца. При этом n = 13, т. к. 1-е января фиксируется дважды: у отчетного и следующего за отчетным года. Аналогично коммерческие банки определяют среднегодовую сумму вкладов и выданных кредитов. Если учет квартальный, то n = 5.

Средняя геометрическая величина получается при подстановке в формулу (1.11) m=0:

==

Для раскрытия неопределенностей этого вида прологарифмируем обе части формулы (1.11):

.

Подставляя в правую часть равенства m=0, получаем неопределенность вида . Используя правило Лопиталя и дифференцируя отдельно числитель и знаменатель по переменной m, получаем

.

Следовательно, при m=0

.

Потенцируя, находим

. (1.18)

Формула (1.18) является формулой средней геометрической простой, а если использовать частоты f, получим формулу средней геометрической взвешенной:

= - взвешенная, (1.19)

где П--символ произведения.

Средняя геометрическая величина применяется, если задана последовательность индексов динамики, указывающих, например, на изменение уровня производства каждого последующего года по сравнению с предыдущим.

Рассчитанные для одних и тех же данных различные средние величины оказываются неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности средних величин (впервые сформулировал профессор А. Я. Боярский), согласно которому с ростом показателя степени m в общих формулах увеличивается и средняя величина. То есть

< < < <

Это правило частично подтвердилось расчетом средней себестоимости продукции, где средняя гармоническая получилась равной 4,1 руб./ед., а средняя арифметическая 4,3 руб./ед. Если рассчитать еще и среднюю геометрическую взвешенную, то она будет равной 4,2 руб./ед.

Особый вид средних величин - структурные средние - применяется для изучения внутреннего строения рядов распределения значений признака, а также для оценки средней величины (степенного типа), если по имеющимся статистическим данным ее расчет не может быть выполнен.

В качестве структурных средних чаще всего используют показатели моды - наиболее часто повторяющегося значения признака - и медианы - величины признака, которая делит упорядоченную последовательность его значений на две равные по численности части. В итоге у одной половины единиц совокупности значение признака больше медианного уровня, а у другой - меньше его.

Если изучаемый признак имеет дискретные значения, то особых сложностей при расчете моды и медианы не бывает. Если же данные о значениях признака Х представлены в виде упорядоченных интервалов его изменения (интервальных рядов), расчет моды и медианы несколько усложняется. Поскольку медианное значение делит всю совокупность на две равные по численности части, оно оказывается в каком-то из интервалов признака X. С помощью интерполяции в этом медианном интервале находят значение медианы:

, (1.20)

где XMe - нижняя граница медианного интервала;

?X - его величина (размах);

?f/2 - половина от общего числа величин;

- сумма наблюдений (или объема взвешивающего признака), накопленная до начала медианного интервала;

fMe - число наблюдений или объем взвешивающего признака в медианном интервале.

При расчете модального значения признака по данным интервального ряда надо обращать внимание на то, чтобы интервалы были одинаковыми, поскольку от этого зависит показатель повторяемости значений признака X. Для интервального ряда с равными интервалами величина моды определяется как

, (1.21)

где  ХMo - нижнее значение модального интервала;

fMo - число наблюдений или объем взвешивающего признака в модальном интервале;

fMo-1 - то же для интервала, предшествующего модальному;

fMo+1 - то же для интервала, следующего за модальным;

?X - величина интервала изменения признака в группах.

Очевидно, что в формуле (1.20) и (1.21) можно заменить частоты f на доли d, так как , а можно вынести за скобки как в числителе, так и в знаменателе и сократить.

Показателями типа медианы, характеризующими структуру рядов распределения признака, являются квартили (делят ряд на 4 равные части), квинтили (на 5), децили (на 10), перцентили (на 100).

Каждая статистическая величина от среднего значения отличается (отклоняется) по-разному и в любую сторону: со знаком плюс или минус. Поэтому для оценки типичности полученной средней величины надо знать величину среднего отклонения совокупности от нее. Поскольку неизбежны и отрицательные отдельные отклонения, необходима нейтрализация знака минус, иначе среднего отклонения не получится. Этого можно достичь двумя способами: принять отрицательные отклонения по модулю или возвести их во вторую степень (в квадрат).

При первом способе образуется среднее линейное отклонение, а при втором -- среднее квадратическое. В связи с тем, что средние величины могут быть простыми и взвешенными, аналогичными могут быть и средние отклонения. Поэтому среднее линейное отклонение определяется по формулам

- простое; (1.22)

- взвешенное. (1.23)

В этих формулах прямые скобки означают, что разности или отклонения берутся по модулю, то есть без учета знака. Если ошибочно вместо прямых скобок принять обычные круглые, то получится Л=0.

При использовании второго способа вначале определяется дисперсия отклонений по формулам

- простая; (1.24)

- взвешенная. (1.25)

Дисперсия альтернативного признака (т.е. имеющего две взаимоисключающие разновидности, например, пол человека - мужской или женский, качество продукции - годная или бракованная) определяется по формуле 1.25, если вместо Xi подставить 1 и 0 (так как признак может принимать только 2 значения). Зная, что:

p + q = 1,

где p - доля единиц, обладающих признаком, q - доля единиц не обладающих им.

Среднее значение можно найти по формуле (1.14):

.

Таким образом получим формулу дисперсии альтернативного признака, применив формулу (1.25):

.

Таким образом, дисперсия альтернативного признака равна

. (1.26)

Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25; оно получается при p = q = 0,5.

В отличие от математики статистика оперирует не абстрактными, а смысловыми величинами, имеющими размерность. Поэтому и дисперсия здесь не безразмерная, как в математике, а сопровождается квадратической размерностью. Например, если статистическая величина измеряется в годах, или рублях, то дисперсия отклонений получится в «квадратных» годах или в «квадратных» рублях.

Для получения обычной размерности находится среднее квадратическое отклонение («сигма») как корень квадратный из дисперсии. То есть

= . (1.27)

Однако значения средних отклонений, как любой абсолютной величины, служат лишь количественной мерой анализа статистической совокупности. Для качественного анализа применяются относительные критерии, называемые коэффициентами вариации.

Поскольку среднее отклонение может определяться линейным и квадратическим способами, то соответствующими могут быть и коэффициенты вариации. Следовательно, коэффициенты вариации надо определять по формулам

- линейный; (1.28)

- квадратический. (1.29)

Значения коэффициента вариации изменяются от 0 до 1 и чем ближе он к нулю, тем типичнее найденная средняя величина для изучаемой статистической совокупности, а значит и качественнее подобраны статистические данные. При этом критериальным значением коэффициента вариации служит 1/3.

То есть средняя величина считается типичной для данной совокупности при л 0,333 или при н 0,333. В ином случае средняя величина не типична и требуется пересмотреть статистическую совокупность с целью включения в нее более объективных статистических величин.

Обычно квадратический коэффициент вариации несколько (примерно на 25%) больше линейного, рассчитанные по одним и тем же данным. А значит возможен случай, когда л 0,333 и н 0,333, тогда необходимо взять среднюю из этих коэффициентов и по ее значению сделать окончательный вывод о не/типичности найденной средней величины.

С помощью линейного коэффициента вариации принципиальный вывод о типичности или не типичности средней величины можно получить проще и быстрее, чем с помощью квадратического. Однако квадратический коэффициент применяется чаще, так как существует несколько способов для вычисления дисперсии.

У такого способа оценки вариации есть и существенный недостаток. Действительно, пусть, например, исходная совокупность рабочих, имеющих средний стаж 15 лет, со стандартным отклонением у = 10 лет, «состарилась» еще на 15 лет. Теперь = 30 лет, а стандартное отклонение по-прежнему равно 10. Совокупность, ранее бывшая неоднородной (10/15*100 = 66,7%), со временем оказывается, таким образом, вполне однородной (10/30*100 = 33,3 %).

Поэтому возможен дополнительный анализ статистической совокупности с помощью коэффициента осцилляции, определяемого по формуле

, (1.30)

где R -- размах вариации в виде разности наибольшего и наименьшего значений в совокупности статистических величин. То есть

R = Хмах -Хmin, (1.31)

где Xмax и Xmin -- максимальное и минимальное значения в совокупности.

При упорядочении статистических величин в совокупности образуются группировочные интервалы. Тогда под обозначением ?Х понимается размах интервала, а среднее интервальное значение обозначается ХИ.

В случае ориентировки только на квадратический коэффициент вариации могут применяться разные методы определения дисперсии.

Окончательно записываем, что дисперсия методом моментов определяется по формуле

Д = , (1.32)

где - средняя квадратов статистических величин; - квадрат их средней величины.

Эти параметры нередко имеют и другие названия. Вычитаемое называют начальным моментом первого порядка, уменьшаемое - начальным моментом второго порядка, а сама дисперсия при этом называется центральным моментом второго порядка.

Для иллюстрации пользования формулами дисперсии рассмотрим простейший пример, приняв абстрактно Х1 = 2, Х2 = 4, Х3 = 6, для которых среднее значение, очевидно, равняется = 4. Тогда дисперсия простая по логической формуле (1.24) будет равна

Д3 = ((2-4)2 + (4-4)2 + (6-4)2)/3 = 8/3 = 2,67

Применив формулу моментов (1.32), получим тот же результат

Д3 =(22 + 42 + 6 2 )/3 - 42 = 56/3 - 16 = 2,67

В данном примере быстрота определения дисперсии методом моментов не достаточно ощутима, но она проявляется очень заметно при большом количестве статистических данных.

Следовательно, при выборочном наблюдении определяется не одно, точное значение обобщающей характеристики генеральной совокупности, а лишь ее доверительный интервал с заданным уровнем вероятности. И это серьезный недостаток выборочного метода статистики.

Кроме того, при статистических величинах с количественными признаками надо знать и выборочную дисперсию, но к началу расчетов и она не известна. Поэтому она принимается приближенно одним из следующих способов:

берется из предыдущих выборочных наблюдений;

по правилу, согласно которому в размахе вариации укладывается примерно шесть стандартных отклонений (R/ = 6 или R/ = 6; отсюда Д = R2 /36);

-- по правилу «трех сигм», согласно которому в средней величине укладывается примерно три стандартных отклонения (/ =3; отсюда = /3 или Д =2/9).

При изучении не численных признаков, если даже нет приблизительных сведений о выборочной доле, принимается w = 0,5, что по формуле (1.37) соответствует выборочной дисперсии в размере Дв = 0,5(1-0,5) = 0,25.

Способ расчета среднего уровня зависит от того, моментный ряд или интервальный. При моментном ряде применяется формула средней хронологической величины (1.17), но при соответствующих обозначениях имеющая вид

= , (1.49)

где Y1 и Yn -- первый и последний уровни ряда; Yi -- промежуточные уровни.

В случае интервального ряда его средний уровень определяется по формуле простой средней арифметической величины как

= (1.50)

Среднее изменение уровней ряда определяется также базисным и цепным способами.

Базисное среднее абсолютное изменение представляет собой частное от деления последнего базисного абсолютного изменения на количество изменений. То есть

Б = (1.51)

Цепное среднее абсолютное изменение уровней ряда представляет собой частное от деления суммы всех цепных абсолютных изменений на количество изменений.

То есть

Ц = (1.52)

По знаку средних абсолютных изменений также судят о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность.

Из правила контроля базисных и цепных абсолютных изменений согласно формуле (1.45) следует, что базисное и цепное среднее изменение должны быть равными.

Наряду со средними абсолютным изменением рассчитывается и среднее относительное тоже базисным и цепным способами.

Базисное среднее относительное изменение определяется по формуле

Б== (1.53)

Цепное среднее относительное изменение определяется по формуле

Ц= (1.54)

Естественно, базисное и цепное среднее относительное изменения должны быть одинаковыми и сравнением их с критериальным значением 1 делается вывод о характере изменения явления в среднем: рост, спад или стабильность.

Вычитанием 1 из базисного или цепного среднего относительного изменения образуется соответствующий средний темп изменения, по знаку которого также можно судить о характере изменения изучаемого явления, отраженного данным рядом динамики.

Проверка ряда динамики на наличие в нем тренда возможна несколькими способами (в порядке усложнения):

1. Графический метод, когда на графике по оси абсцисс откладывается время, а по оси ординат - уровни ряда. Соединив полученные точки линиями, в большинстве случаев можно выявить тренд визуально.

2. Метод средних, согласно которому изучаемый ряд динамики делится на два равных подряда, для каждого из которых определяется средняя величина и . И если они различаются существенно (более 10%), то признается наличие тренда.

3. Метод Кокса и Стюарта, согласно которому ряд динамики делится на три равные по числу уровней группы и существенное различие выявляется между средними уровнями первой и третьей групп. Если общее число уровней не делится на три, то надо добавить недостающий уровень или исключить излишний.

4. Метод Валлиса и Мура, согласно которому наличие тренда признается в том случае, если ряд не содержит либо содержит в приемлемом количестве фазы, т.е. перемену знака при определении абсолютного изменения цепным способом.

Метод серий, согласно которому каждый уровень ряда считается принадлежащим к одному из двух типов, например типу А - меньше медианного или среднего значения или типу В - больше его. Затем в образовавшейся последовательности типов устанавливается число серий R. Они называются последовательностью уровней одинакового типа, которая граничит с уровнями другого типа. Если в ряду динамики общая тенденция к росту или снижению уровней отсутствует, то число серий является случайной величиной, распределенной приближенно по нормальному закону (при n>30) или по распределению Стьюдента (при n<30). Следовательно, если закономерности в изменениях уровней нет, то случайная величина R оказывается в доверительном интервале

где t - коэффициент доверия для принятого уровня вероятности при нормальном законе или со степенью свободы k = (n - 1) при распределении Стьюдента;

- среднее число серий в ряду, определяемое по формуле:

;

- среднее квадратическое отклонение числа серий в ряду, определяемое по формуле

.

Подставляя среднее число серий и его среднее квадратическое отклонение в доверительный интервал, получим его развернутое значение в виде

.

Значит, с заданной вероятностью тренд имеет место, если установленное число серий ряда не входит в доверительный интервал, и тренд отсутствует, если установленное число серий находится в этом интервале.

, (1.55)

где - математическая функция развития; - случайное или циклическое отклонение от функции; t - время в виде номера периода (уровня ряда). Цель такого метода - выбор теоретической зависимости в качестве одной из функций:

- прямая линия;

- гипербола;

- парабола;

- степенная;

- ряд Фурье.

Определение параметров в этих функциях может вестись несколькими способами, но самые незначительные отклонения аналитических (теоретических) уровней ( - читается как «игрек, выравненный по t») от фактических () дает метод наименьших квадратов - МНК (т.е. минимально). При этом методе учитываются все эмпирические уровни и должна обеспечиваться минимальная сумма квадратов отклонений эмпирических значений уровней от теоретических :

. (1.56)

В частности, при выравнивании по прямой вида , параметры и отыскиваются по МНК следующим образом. В формуле (1.56) вместо записываем его конкретное выражение . Тогда

.

Дальнейшее решение сводится к задаче на экстремум, т.е. к определению того, при каком значении и функция двух переменных S может достигнуть минимума. Как известно, для этого надо найти частные производные S по и , приравнять их к нулю и после элементарных преобразований решить систему двух уравнений с двумя неизвестными.

В соответствии с вышеизложенным найдем частные производные

Сократив каждое уравнение на 2, раскрыв скобки и перенеся члены с y в правую сторону, а остальные - оставив в левой, получим систему нормальных уравнений

где n - количество уровней ряда; t - порядковый номер в условном обозначении периода или момента времени; y - уровни эмпирического ряда.

Эта система и, соответственно, расчет параметров и упрощаются, если отсчет времени ведется от середины ряда. Например, при нечетном числе уровней серединная точка (год, месяц) принимается за нуль. Тогда предшествующие периоды обозначаются соответственно -1, -2, -3 и т.д., а следующие за средним (центральным) - соответственно 1, 2, 3 и т.д. При четном числе уровней два серединных момента (периода) времени обозначают -1 и +1, а все последующие и предыдущие, соответственно, через два интервала: , , и т.д.

При таком порядке отсчета времени (от середины ряда) = 0, поэтому система нормальных уравнений упрощается до следующих двух уравнений, каждое из которых решается самостоятельно:

(1.57)

Как видим, при такой нумерации периодов параметр представляет собой среднее значение уровней ряда. К данному виду можно свести гиперболу, если ввести замену , тогда к ней полностью применима система уравнений (1.57).

По полученной модели для каждого периода (каждой даты) определяются теоретические уровни тренда () и оценивается надежность (адекватность) выбранной модели тренда.

Применение экстраполяции для прогнозирования должно основываться на предположении, что найденная закономерность развития внутри динамического ряда сохраняется и вне этого ряда. Это означает, что основные факторы, сформировавшие выявленную закономерность изменений уровней ряда во времени, сохранится в будущем.

При составлении прогнозов уровней социально-экономических явлений обычно оперируют не точечной, а интервальной оценкой, рассчитывая так называемые доверительные интервалы прогноза. Границы интервалов определяются по формуле

, (1.61)

где - точечный прогноз, рассчитанный по модели тренда;

- коэффициент доверия по распределению Стьюдента при уровне значимости и числе степеней свободы =n-1;

- ошибка аппроксимации.

Уровень значимости связан с вероятностью следующей формулой

. (1.62)

Ошибка аппроксимации (среднее квадратическое отклонение тренда) определяется по следующей формуле

, (1.63)

где и - соответственно фактические и теоретические (расчетные) значения уровней ряда динамики;

n - число уровней ряда;

k - число параметров (членов) в уравнении тренда.

Очевидно, что индивидуальный индекс сложного явления формируется из таких индексов простых его составляющих по типологической формуле его определения. То есть

iQ=iqip (1.64)

Подставив сюда индивидуальный индекс выручки, записываем:

Q1/Q0= iqip

откуда получаем, что

Q1= iqipQ0 (1.65)

Формула (1.65) представляет собой двухфакторную мультипликативную модель сложного явления, позволяющую находить его изменение под влиянием каждого фактора в отдельности.

Мультипликативной она называется потому, что содержит только действие умножения. Если в формуле только сложение, или вычитание, или оба этих действия, то она называется аддитивной моделью. Если в формуле только деление, то она называется кратной моделью. Если в формуле сложение и вычитание с умножением и делением в любом сочетании, то она называется смешанной моделью.

Общее изменение выручки равняется =Q1-Q0, а ее изменение от каждого фактора определяется следующим образом. От изменения количества товара при постоянной цене (ip = 1) оно равно

q= iqQ0 - Q0 = (iq -1) Q0, (1.66)

а при изменении еще и цены оно будет равным

p= Q1 - Q0 -q = iqipQ0 - Q0 - (iq -1) Q0= iq(ip -1) Q0, (1.67)

Так, если выручка от продаж возросла с Q0 = 8 млн. руб. в предыдущем периоде до Q1 =12,18 млн. руб. в последующем при увеличении количества проданного товара на 5% (iq =1,05) и повышении цены на 45% (ip =1,45), то можно по формуле (1.54) записать, что

Q1 = 1,05*1,45*8 = 12,18 млн. руб.

При этом весь прирост выручки в сумме = 12,18-8=4,18 млн. руб. вызван увеличением обоих факторов. За счет изменения количества проданного товара он по формуле (1.66) составил q =(1,05-1)8=0,4 млн. руб., а за счет изменения цены по формуле (1.67) равняется p =1,05(1,45-1)8 =3,78 млн. руб. Для контроля отмечаем, что сумма факторных изменений выручки равна общему: 0,4+3,78=4,18 млн. руб.

Формулы (1.66) и (1.67) получены исходя из того, что в основной формуле выручки количество товара - первый фактор, а цена - второй. Если эти факторы поменять местами, то выручка и ее общее изменение останутся прежними, но изменения от каждого фактора будут другими.

Так, если основываться на формуле выручки вида Q = pq, то ее изменение за счет цены, как первого фактора, по аналогии с формулой (1.66) будет равняться

p = (ip -1) Q0 , (1.68)

Изменение выручки за счет количества товара, как второго фактора, по аналогии с формулой (1.67) определится по выражению

q= ip(iq -1) Q0. (1.69)

Суммарное по факторам изменение выручки по-прежнему равняется ее общему изменению.

В рассмотренном примере, считая цену первым фактором и применяя формулу (1.68), определяем, что изменение выручки за счет повышения цены равняется

p = (1,45-1)8 = 3,6 млн. руб.

Изменение выручки за счет увеличения количества проданного товара, как второго фактора, по формуле (1.69) равно

q = 1,45(1,05-1)8 = 0,58 млн. руб.

Общее изменение выручки осталось прежним: 3,6+0,58=4,18 млн. руб.

В связи с различными факторными изменениями выручки в зависимости от места фактора в ее основной формуле, встает вопрос, какую же формулу выручки применять для анализа. Это зависит от конкретной экономической ситуации. Если увеличение выручки обеспечивается главным образом за счет роста количества проданного товара при более или менее стабильной цене, то товар считается первым фактором, а цена -- вторым. Если же увеличение выручки достигается в основном повышением цен без увеличения и даже при снижении количества проданного товара, то цена считается первым фактором, а товар -- вторым.

Значит, очередность анализа по факторам вытекает из вида формулы сложного явления. Так, если материальные затраты М на выпуск продукции определяются как произведение ее количества q, удельного расхода материала т и его цены р, то типологическая формула имеет вид

М = qmp, (1.70)

а трехфакторная мультипликативная модель запишется как

M1=iqimipM0. (1.71)

Следовательно, можно записать следующие формулы факторных изменений материальных затрат

Меняя факторы местами в основной формуле (1.70), можно получать другие факторные формулы. Но всегда общее изменение материальных затрат, равное сумме факторных изменений, будет одинаковым.

Подобные мультипликативные модели можно формировать для неограниченного числа факторов.

Аналогично через индивидуальные индексы количества товара и цены можно выразить агрегатные общие индексы Ласпейреса и Пааше.

Используя формулу (1.83) в двухфакторной модели общего индекса выручки, получим его трехфакторную мультипликативную модель вида

IQ ==. (1.87)

Трехфакторная модель возможна к широкому применению в экономическом анализе для установления количественного влияния каждого фактора на вариацию сложного явления.