Прогноз среднего значения спроса на товар

11

Задача №1

Исходные данные:

Решение:

1. Находим сумму квадратов всех наблюдений (Q1), сумму квадратов итогов по столбцам, деленных на число наблюдений в соответствующем столбце (Q2), квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений (Q3).

2. Вычисляем оценку дисперсии фактора:

3. Вычисляем оценку дисперсии, связанной со случайностью:

4. Рассчитываем значение F-статистики (статистики Фишера):

5. Проверяем значимость фактора (q =0,05; h1 = K-1; h2 = N-K)

F = 2,29, так как расчетное меньше табличного, с вероятностью 0,95 можно утверждать, что связь между сроком окупаемости и типом региона не существенна.

6. Строим диаграмму средних значений сроков окупаемости для всех рассматриваемых регионов.

Средние сроки окупаемости:

Согласно таблицы и диаграммы самый маленький срок окупаемости инвестиционных проектов сложился в Новгородской области, следовательно, данная область является приоритетной.

Задача 2

Исходные данные:

Решение.

1. Изобразить данные графически.

2. Составить уравнение линейной регрессии.

3. Для расчета параметров уравнения регрессии (yt = a0 + a1t) составляем вспомогательную таблицу:

Для нахождения a0 и a1 составляем систему уравнений:

?у =n*a0 + a1 ?t

?уt =a0 ?t + a1 ?t2

Так как при t =60мин = 0, ?t=0, система принимает вид:

5376 =7*a0

11160 = a1 *11200

Откуда:

a0 = 768 и a1 = 0,996

Уравнение регрессии имеет вид:

yt = 768 + 0,996 t

Задача 3

Исходные данные:

Решение

1. Находим среднее значение, среднее квадратичное отклонение, коэффициенты автокорреляции (для лагов ф=1;2) и частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка.

2. - среднее значение:

 - среднее квадратическое отклонение:

- Найдем коэффициент автокорреляции r(ф) временного ряда (для лага ф=1), т.е. коэф-т корреляции между последовательностями семи пар наблюдений:

Вычисляем необходимые суммы:

? Уt = 239+181+…+369 =2319

? Уt2 = 2392 + 1812 + … + 3692 = 860449

? Уt+ ф = 181+ 299+ … +379 = 2464

? У2 t+ ф = 1812 +2992 + … +3792 =949934

? Уt *Уt+ ф = 239*181 + 181*299 + … + 369*3729=851073

Находим коэффициент автокорреляции:

- Найдем коэффициент автокорреляции r(ф) временного ряда (для лага ф=2), т.е. коэф-т корреляции между последовательностями шести пар наблюдений:

Вычисляем необходимые суммы:

? Уt = 239+181+…+572 =1955

? Уt2 = 2392 + 1812 + … + 5722 = 727253

? Уt+ ф = 299+ 319+ … +379 = 2283

? У2 t+ ф = 2992 +3192 + … +3792 =917173

? Уt *Уt+ ф = 239*299 + 181*319 + … + 572*379 =758916

Находим коэффициент автокорреляции:

Для определения частного коэффициента корреляции 1-го порядка найдем коэффициент автокорреляции между членами ряда Уе+1 и Уе+2:

Вычисляем необходимые суммы:

? Уt+1= 181+299+…+369 =2080

? У2t +1= 1812 + 2992 + … + 3692 = 806293

? Уt+ 2 = 299+ 319+ … +379 = 2283

? У2 t+ 2 = 2992 +3192 + … +3792 =917173

? Уt+1 *Уt+ 2 = 181*299 + 299*319 + … + 369*379 =807814

Находим коэффициент автокорреляции:

- Найдем частный коэффициент автокорреляции 1-го порядка:

3. Найти уравнение неслучайной составляющей (тренда) для временного ряда, полагая тренд линейным.

4. Находим коэффициенты для системы нормальных уравнений:

Система нормальных уравнений имеет вид:

8b0 + 36b1 = 2703

36b0 + 204b1 = 13546

Отсюда находим b0 = 189,068;b1 =33,068

Уравнение тренда:

Yt = 189,068+33,068t

То есть спрос ежегодно увеличивается в среднем на 33.068 ед.

5. Провести сглаживание временного ряда методом скользящих средних, используя простую среднюю арифметическую с интервалом сглаживания m = 3 года.

6. у2 = 1/3 (у1 + у2 + у3) = 1/3 (239+181+299)=239,7

7. у3 = 1/3 (у2 + у3 + у4) = 1/3 (181+299+319)=266,3

У4 =1/3(у3+ у4+ у5)=1/3(299+572+345)=405.3

У5 =1/3(y4+y5+y6)=1/3(319+345+572)=412

У6=1/3(у5 + у6 + у7)=1/3(345+572+369)=428,7

У7=1/3(у6 + у7 + у8)=1/3(572+369+379)=440

В результате получим сглаженный ряд:

8. Дать точечную и с надежностью 0,95 интервальную оценки прогноза среднего и индивидуального значений спроса на некоторый товар в момент времени t=взятый год. (Полагаем, что тренд линейный, а возмущения удовлетворяют требованиям классической модели).

По полученному выше уравнению регрессии Yt = 189,068 + 33,068t оценим условное математическое ожидание. Оценкой у(9) является групповая средняя:

Уt=9 = 189,068 + 33,068*9 =486,68(ед)

Составим вспомогательную таблицу для оценки дисперсии.

Вычислим оценку s2 дисперсии ^

Вычислим оценку дисперсии групповой средней:

Значение t0.95;6 = 2,45, критерий Стьюдента. Теперь находим интервальную оценку прогноза среднего значения спроса:

486,68 - 2,45*69,76 ?у(9)? 486,68+2,45*69,76

Или

315,77?у(9)? 657,59

Для нахождения интервальной оценки прогноза индивидуального значения вычислим дисперсию его оценки:

Теперь находим интервальную оценку:

486,68-2,45*113,69 ? у* (9) ? 486,68+2,45*113,69

Или

208,14 ? у* (9) ? 765,22

Вывод:

Следовательно, с надежностью 0,95 среднее значение спроса на товар на 9-й год будет заключено от 315,77 до 657,59 (ед.), а его индивидуальное значение - от 208,14до 765,22 (ед.)