• = 21,636 тыс. руб.
• (формула средней гармонической взвешенной)
• Следовательно, в зарплата в филиале № 2 на 0,456 тыс. руб. выше, чем в филиале №1.
• Найдем моду, медиану и нижний и верхний квартили по филиалу №1.
• Мода определяется по формуле
• М0 = х0 + ,
• где: х0 - нижняя граница модального интервала; - величина модального интервала; - частота модального интервала; - частота интервала, предшествующего модальному; - частота интервала, следующего за модальным.
• Найдем модальный интервал по наибольшей частоте в данном распределении: наибольшую частоту имеет интервал 21 - 25 тыс. руб. ( = 18). Тогда по вышеуказанной формуле мода будет равна:
• М0 = 21 + 4 = 22,905 тыс. руб.
• Таким образом, чаще всего встречающаяся заработная плата - 22,905 тыс. руб.
• Найдем медианное значение зарплаты:
• ,
• где: х0 - нижняя граница медианного интервала; - величина медианного интервала; - сумма накопленных частот до медианного интервала; - частота медианного интервала.

Медианному интервалу соответствует первая из накопленных частот, превышающая половину всего объема совокупности. В нашем случае объем совокупности равен 50, первая из накопленных частот, превышающая половину всего объема совокупности, - 43. Следовательно, интервал 21 - 25 будет медианным; х0 = 21, = 4, = 25, = 18. Отсюда:

тыс. руб.

Таким образом, половина служащих имеют зарплату, размером более 21 тыс. рублей.

Найдем первый квартиль.

.

Первая из накопленных частот, превышающая четверть всего объема совокупности, - 17. Следовательно, Следовательно, интервал 17 - 19 будет медианным; хQ = 17, = 2, = 5, = 12. Отсюда:

= 18,25 тыс. руб.

Найдем нижний квартиль.

Первая из накопленных частот, превышающая 0,75 всего объема совокупности (37,5), - 43. Следовательно, нижний квартиль совпадает с медианой и равен

Q2 = 21 тыс.руб.

Таким образом, четверть служащих имеют зарплату менее 18,25 тыс. руб., 75% служащих имеют зарплату менее 21 тыс. руб.

Задание 3

Для изучения размеров вклада в филиале кредитной организации путем бесповторного отбора были получены сведения о размерах 500 вкладов, что составило 12,5% от их общего числа. Были получены следующие результаты:

Рассчитайте:

1) для выборочной совокупности:

а) средний размер вклада;

б) структурные средние (моду, медиану, квартили);

в) показатели вариации (размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации);

2) для генеральной совокупности:

а) ошибку выборки и предельную ошибку;

б) пределы, в которых находится средний размер вклада с вероятностью 0,997.

По результатам расчетов сформулируйте выводы.

Решение

1) Средний размер вклада найдем по формуле средней арифметической взвешенной

.

Для упрощения расчетов составим таблицу.

Таблица 1.

= 8,85 тыс. руб.

Найдем модальное значение вклада:

М0 = х0 + ,

где: х0 - нижняя граница модального интервала; - величина модального интервала; - частота модального интервала; - частота интервала, предшествующего модальному; - частота интервала, следующего за модальным.

Найдем модальный интервал по наибольшей частоте в данном распределении: наибольшую частоту имеет интервал 9,0 - 12,0 тыс. руб. ( = 160). Тогда по вышеуказанной формуле мода будет равна:

М0 = 9 + 3 = 9,13 тыс. руб.

Таким образом, чаще всего встречающийся размер вклада - 9,13 тыс. руб.

Найдем медианное значение размера вклада:

,

где: х0 - нижняя граница медианного интервала; - величина медианного интервала; - сумма накопленных частот до медианного интервала; - частота медианного интервала.

Медианному интервалу соответствует первая из накопленных частот, превышающая половину всего объема совокупности (см. последний столбец таблицы 1). В нашем случае объем совокупности равен 500, первая из накопленных частот, превышающая половину всего объема совокупности, - 260. Следовательно, интервал 6,0 - 9,0 будет медианным;

х0 = 6, = 3, = 105, = 155. Отсюда:

8,81 тыс. руб.

Таким образом, половина вкладчиков имеют вклад, размером более 8,81 тыс. рублей.

Найдем первый квартиль (так же как и медиану).

.

Первая из накопленных частот, превышающая четверть всего объема совокупности, - 260. Следовательно, верхний квартиль совпадает с медианой

Q1 = Me = 8,81.

Найдем нижний квартиль.

.

Первая из накопленных частот, превышающая 0,75 всего объема совокупности (375), - 420. Следовательно, интервал 9,0 - 12,0 будет медианным; хQ = 9, = 3, = 260, = 160. Отсюда:

= 11,16.

Таким образом 25% всех вкладчиков имеют вклад, размером больше 8,81 тыс. руб., а 75% вкладчиков имеют вклад, размером более 11,16 тыс. руб.

Рассчитаем показатели вариации (размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсию и среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации). Промежуточные вычисления будем вести в таблице.

Размах вариации

R = xmax - xmin = 16,5 - 1,5 = 15 (тыс. руб.)

Среднее линейное отклонение

= 2,904.

Дисперсия

= 12,488

Среднее квадратическое отклонение

= 3,534

Коэффициент вариации

= 39,9%

Поскольку V > 33%, то колеблемость размера вкладов достаточно большая, совокупность неоднородная и средний размер вклада не может характеризовать всю совокупность.

2) Для генеральной совокупности рассчитаем ошибку выборки и предельную ошибку.

Ошибка выборки

.

Предельная ошибка выборки

,

так как при вероятности Р = 0,997 t = 3 и при 12,5% отборе N = 500:0,125 = 4000.

Следовательно, пределы генеральной средней будут:

;

8,85 - 0,441 8,85 + 0,441;

8,41 9,29.

Следовательно, средний размер вклада с вероятностью 0,997 будет находиться в пределах от 8,41 тыс. руб. до 9,29 тыс. руб.

Задание 4

В таблице приведены данные о денежных расходах населения, трлн. руб.:

Рассчитайте по каждому виду расходов и для общей суммы расходов:

1) цепные темпы роста и абсолютные приросты;

2) среднегодовой абсолютный прирост;

3) среднегодовой темп роста и прироста.

Результаты расчетов представьте в таблице. На основе анализа сформулируйте выводы.

Решение. Воспользуемся формулами:

- цепной абсолютный прирост

уц = yn - yn - 1.

- цепной темп роста

%.

Составим таблицы:

Цепные абсолютные приросты

Цепные темпы роста

Рассчитаем среднегодовой абсолютный прирост, темп роста и прироста:

- всего

= 1727,98;

129,65%;

= 129,65% - 100% = 29,65%.

- покупка товаров и оплата услуг

= 1147,93;

126,07%;

= 126,07% - 100% = 26,07%.

- обязательные платежи

= 185,48;

135,74%;

= 135,74% - 100% = 35,74%.

- приобретение недвижимости

= 26,88;

134,31%;

= 134,31% - 100% = 34,31%.

- прирост финансовых активов

= 356,45;

134,89%;

= 134,89% - 100% = 34,89%.

Таким образом, по результатам вычислений можно сделать вывод, что за пять лет денежные расходы населения увеличились на 6866,9 трлн.руб. При этом расходы на покупку товаров и оплату услуг повысились на 4591,7 трлн.руб., расходы на обязательные платежи и разнообразные взносы выросли на 741,9 трлн.руб., расходы на покупку недвижимости выросли на 107,5 трлн.руб., прирост финансовых активов увеличился на 1425,8 трлн.руб. Ежегодные темпы роста изменялись неравномерно - то увеличивались, то уменьшались. Средний темп прироста по всем видам расходов составил 26%-35% .

Задание 5

Товарооборот товарной организации в базисном периоде составил 350,0 млн.руб. В отчетном периоде цены на все товары, в среднем, возросли на 5,6%, а количество проданных товаров увеличилось на 2,2%.

Рассчитайте:

1) изменение товарооборота в отчетном периоде по сравнению с базисным (в процентах и в рублях);

2) изменение товарооборота за счет изменения цен и за счет изменения физического объема товарооборота (в процентах и в рублях);

Покажите взаимосвязь между индексами и между абсолютными изменениями товарооборота.

Решение

Из условия задачи следует, что общий индекс цен

Ip = 105,6% или 1,056.

Изменение цены

р = 3505,6% = 19,6 млн.руб.

Общий индекс физического объема товарооборота

Iq = 102,2% или 1,022.

Изменение физического объема товарооборота

q = 3502,2% = 7,7 млн.руб.

Из взаимосвязи индексов Ipq = IpIq следует, что

Ipq =1,0561,022= 1,0792 или 107,92%.

Следовательно, товарооборот в отчетном периоде по сравнению с базисным увеличился на 7,92%.

pq =р + q = 19,6 + 7,7 = 27,3 млн.руб.

Итак, товарооборот в отчетном периоде по сравнению в базисным увеличился на 7,92% или на 27,3 млн. рублей. За счет изменения цены товарооборот увеличился на 5,6% или на 19,6 млн. руб., за счет роста физического объема товарооборота на 2,2% товарооборот увеличился на 7,7 млн.рублей.

Задание 6

В таблице приведены данные котировок цен на золото и серебро в ноябре 2005 года (руб./грамм):

Определите:

1) тесноту связи между ценами на золото и серебро;

2) параметры а и b уравнения линейной регрессии, связывающей цены на золото х и цены на серебро у:

.

Промежуточные результаты расчетов представьте в виде таблицы.

Решение

Тесноту связи определим по линейному коэффициенту корреляции:

Вычисления будем вести в таблице

Таким образом,

= 0,96.

Следовательно, связь прямая и очень тесная. Поскольку вычисленный нами линейный коэффициент корреляции имеет положительный знак, то взаимосвязь между признаками прямая: с ростом цены на золото, растет и цена серебра.

Коэффициент детерминации

r2100% = 92,16%.

Коэффициент детерминации показывает, что цены на серебро на 92,16% зависят от цен на золото и всего на 7,84% от других факторов.

Полученные данные подтверждает и корреляционное поле:

Точки сконцентрированы около диагонали идущей слева направо, снизу вверх - следовательно, связь между признаками прямая. Поскольку эмпирическая линия связи по своему виду приближается к прямой линии, то это свидетельствует о наличии прямолинейной корреляционной связи между признаками.

2) Определим параметры корреляционного уравнения, связывающей цены на золото х и цены на серебро у:

Параметры уравнения можно найти, решая систему нормальных уравнений

у = пb + ах,

ух = bх + ах2.

Подставив данные из таблицы, получим

114,52 = 16b + 7059,8a,

50579,3 = 7059,3b + 3117706,3a,

решая которую, получим

а = 0,019; b = -0,869.

Уравнение регрессии будет иметь вид:

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Громыко Г.Л. Теория статистики: Практикум. - М.: ИНФРА-М, 2004 - 205 с.

2. Общая теория статистики: Учебник / Под ред. Спирина А.А., Башиной О.Э. - М.: Финансы и статистика, 2000.

3. Практикум по общей теории статистики / Под ред. Ряузова Н.Н. - М.: Финансы и статистика, 1981.

4. Практикум по теории статистики: Учебное пособие / Под ред. проф. Шмойловой Р.А. - М.: Финансы и статистика, 1998.