Современный взгляд на кейнсианскую модель экономического цикла

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

СОВРЕМЕННЫЙ ВЗГЛЯД НА КЕЙНСИАНСКУЮ МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЦИКЛА

ВЫВОДЫ

ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ

Недавно научная общественность отметила 70-летие выхода в свет знаменитого труда выдающегося английского экономиста Дж. М. Кейнса "Общая теория занятости, процента и денег", в котором были раскрыты наиболее существенные показатели функционирования экономической макросистемы. Одним из фундаментальных положений этого исследования является IS-LM-модель совместного равновесия на рынках благ и денег, которое выражается во множестве комбинаций парных значений национального дохода и ставки процента. Указанную модель автор, а позже - многочисленные его последователи считали верным формальным представлением макроэкономической теории У. Дж. М. Кейнс допускал, что задача выяснения условий совместного равновесия имеет единственное решение. Но потребности экономики сделали актуальным нахождение множества состояний равновесия, обусловленных нелинейной зависимостью кривых IS-LM от значений национального дохода и ставки процента.

Проблеме адаптации кейнсианской IS-LM-модели к условиям рыночной экономики посвятили свои труды Э. Хансен, Р. Харрод, Дж. Хикс, У. Баумоль, Дж. Тобин и др., но большая часть исследований основана на использовании положений линейной теории экономической динамики.

Целью настоящей работы является освещение теоретического базиса качественного прогнозирования циклических процессов в IS-LM-модели Кейнса с позиций экономической синергетики и математического аппарата теории нелинейных колебаний.

С учетом положений экономической синергетики в работе осуществлено качественное прогнозирование периодических процессов в IS-LM- модели с конструированием соответствующей архитектуры циклических режимов. Выяснены экономические условия возникновения нелинейных колебаний. На основании методов анализа нелинейных динамических систем обосновано существования вблизи тривиального равновесия IS-LM- модели не менее как трех предельных циклов да еще одного цикла вокруг нетривиального равновесного состояния.

СОВРЕМЕННЫЙ ВЗГЛЯД НА КЕЙНСИАНСКУЮ МОДЕЛЬ ЭКОНОМИЧЕСКОГО ЦИКЛА

На протяжении последних лет данная модель жестко критиковалась ввиду того, что с ее помощью невозможно явно различить гипотезы преимущества ликвидности и теории ссудного капитала. Тем не менее модель не утратила своей актуальности и получила развитие не только в рамках самой кейнсианской теории, но и на определенной стадии эволюции монетаризма. На фоне общего всплеска новых концепций и моделей экономического цикла следует обратить внимание на труды таких американских авторов, как А. Блайндер, Г. Менкью

Дж. Акерлоф, которые, оставаясь на принципиальных позициях кейнсианства, концентрируют усилия на микроэкономических явлениях. Полагая, что возникновение экономического цикла вызывается шоками спроса, эти ученые стремятся выяснить, какие именно факторы мешают фирмам быстро адаптироваться к изменениям ситуации и восстанавливать равновесие.

На фоне кризиса 2001-2003 гг. усилился интерес к традиционной теории экономического цикла, которая опирается на изменения макроэкономического спроса. В отчете Национального бюро экономических исследований США по программе "Роль экономической политики в макроэкономической теории" указывалось, что эмпирические исследования конца 1990-х годов, которые использовали статистические данные промышленно развитых стран, породили серьезные сомнения в способности неоклассических моделей роста удовлетворительно объяснить агрегатные колебания экономики. Следствием этих сомнений стало появление новой кейнсианской парадигмы как альтернативной теоретической базы для понимания экономического цикла. "Ключевое расхождение между классической и новой кейнсианской парадигмами заключается в том, что в последней присутствие различных номинальных и реальных дефектов экономической системы является убедительным основанием для проведения стабилизационной политики".

Таким образом, растущий интерес к кейнсианской теории экономического цикла - это весомый стимул для анализа динамики IS-LM-модели с учетом положений экономической синергетики, которая позволяет описывать возникновение новых свойств в сложных нелинейных системах. Именно нелинейность определяет возможность внезапных (эмерджентных) изменений направления экономических процессов. Нелинейность зависимостей делает принципиально ненадежными и недостоверными распространенные прогнозы - экстраполяции от имеющейся информации. Это объясняется тем, что развитие определяется случайностью выбора системой пути в момент бифуркации (точка разветвления возможных путей эволюции системы, чему на уровне математического описания соответствует разветвление решений нелинейных дифференциальных уравнений), а сама случайность, - такова ее природа, - наверняка не повторится вновь

Выявление значений критических параметров модели, при которых наблюдаются качественные изменения ее поведения, с одной стороны, облегчает понимание процессов, происходящих в системе и не имеющих надежных эмпирических данных, а с другой - порождает новые теоретические факты. Эти феномены не являются результатом наблюдения реальных событий, но вместе с тем они ближе к заложенному в модели представлению, чем эмпирическая информация. В свою очередь, данные факты создают предпосылки для модификации модели, обусловливая необходимость разработать и применить соответствующий математический аппарат, способный адекватно описать экономическую динамику на качественном уровне. Исследователи циклических процессов в экономике подчеркивают целесообразность применения нелинейного анализа, теорий бифуркаций и катастроф, моделей диффузионных процессов и самоорганизации ".

Рассмотрим подробнее вопросы, связанные с функционированием модели.

В математически формализованной IS-LM-модели деловой цикл можно описать при помощи системы двух обычных дифференциальных уравнений:

(1)

где У=У() - объем национального дохода;

R = R(t) - ставка процента;

I=I(Y,R)-функция спроса на инновации, которая растет по величине национального дохода dI/dY=Iy>0 и убывает по ставке процента dL/dR = - LR<0; S= S(Y, R) - функция сбережений, которая растет по обеим переменным dS/dY= Sy > 0, dS/dR = SR > 0; L = L(Y,R)- совокупный денежный спрос, который растет по доходу dL/dY= Ly>0 и убывает по ставке процента dL/dR = - LR<0; М- постоянное предложение денег: y R - соответствующие временные постоянные. Согласно В. Зангу, все параметры и переменные в системе (1) считаются положительными.

Система (1) иллюстрирует действие простого механизма: превышение спроса на инвестиции над объемом сбережений приводит к увеличению национального дохода, и наоборот; в случае превышения совокупного спроса на денежные ресурсы (их наличного предложения) процентная ставка растет.

В отношении функции спроса на инвестиции следует отметить, что значения I(Y, R) находятся в прямой зависимости от величины национального дохода и в обратной зависимости от ставки процента. С другой стороны, рост национального дохода или ставки процента будет стимулировать население к накоплению сбережений, что повлияет на рост денежного спроса L(Y, R).

Для системы (1) допустимо существование, как минимум, одного положительного особого решения Y*, R*, передающего состояние статического равновесия IS-ZM-модели. Чтобы непосредственно определить величины Y*, R*, необходимо решить систему таких уравнений:

(2)

То есть система (2) в общем виде определяет множество равновесных состояний IS-LM-модели.

Для дальнейшего анализа динамики системы (1) в пределах равновесного состояния ограничим локальную область двухмерного пространства исходных переменных Y(t) и R(t) вблизи состояния равновесия Y*, R*. Для этого введем переменные величины Y(t)=Y(t)-Y*, R(t)=R(t)-R*, имеющие смысл отклонений от равновесных значений национального дохода и ставки процента. Для удобства интерпретации системы и уменьшения количества параметров опустим черточку над переменными Y, R и предположим, что ?R =?Y =1 и F( Y, R) =(Y, R) -- S(Y, R). Принятые допущения существенно не нарушают общность свойств системы (1).

После осуществленных преобразований система (1) получит следующий вид:

(3)

После разложения правых частей системы (3) в ряд Тейлора в пределах равновесного состояния при условии сохранения линейных и квадратичных слагаемых получим такую систему дифференциальных уравнений:

(4)

где коэффициенты при квадратичных слагаемых являются вторыми производными по соответствующим переменным в состоянии равновесия Y*, R*.

Одним из авторов достаточно подробно исследованы возможные периодические режимы системы (4) как системы двух обычных дифференциальных уравнений с квадратичными нелинейностями общего вида. При этом экономический цикл интерпретируется языком математики как предельный цикл, который рождается в результате изменения устойчивости системы вблизи состояния равновесия У*, R* типа фокус. А с позиции экономической теории предельный цикл является периодическим процессом, который реально наблюдается при анализе временных рядов. Под фокусом будем подразумевать тип особой точки (состояние равновесия Y*, R*), исключительно для которой возможно наличие предельных циклов. Из системы (4) получим формулы для основных характеристик предельного цикла, таких как амплитуда, частота и период колебаний, а также формулы для определения устойчивости периодических решений. В работе В. Занга представлены соответствующие результаты и доказано, что предельный цикл может быть как устойчивым, так и неустойчивым, в зависимости от конкретных значений коэффициентов при квадратичных слагаемых системы (4). Целесообразно отметить, что в указанной монографии рассматривалась ситуация, когда возникающий предельный цикл является единственным с фиксированным типом устойчивости (то есть устойчивым или неустойчивым видом цикла). Но при этом самая важная цель исследования проблемы рождения цикла - определить максимальное число предельных циклов, которые могут появляться из состояния равновесия при параметрическом возбуждении исследуемой системы (это достигается сдвигом кривых IS и LM, как в методе сравнительной статики).

Такая цель достигнута полностью только для квадратичной полиномиальной системы: доказано, что максимальное число предельных циклов, которые могут возникнуть в квадратичной системе из особой точки типа "сложный фокус", равно трем. Удалось выяснить алгебраические условия существования трех предельных циклов в системе общего вида (4) путем прямого вычисления соответствующих фокусных величин для полной шестипараметрической квадратичной системы без использования любых канонических моделей типа систем, предложенных авторами, которые используют пятипараметрическую форму представления исследуемых моделей.

Модель делового цикла, определенная системой (4), является достаточно общей и содержит значительное число параметров, что существенно усложняет ее экономическую интерпретацию. Для дальнейшего упрощения указанной модели воспользуемся допущением монетаристов, что линия IS будет достаточно пологой в силу высокой эластичности совокупного спроса по ставке процента, а линия LM - достаточно крутой, ибо спрос на деньги не очень эластичен по ставке процента в силу того, что в качестве основного аргумента денежного спроса выступает перманентный доход.

С математической точки зрения приведенные допущения монетаристов можно записать следующим уравнением: d(ln L( Y,R))/d(ln R) = 0. Тогда, соответственно, коэффициенты во втором уравнении системы (4) будут иметь такой вид:

LR = 0, LYR = 0, LRR = 0 (5)

Для дальнейшего упрощения анализа свойств системы (4) допустим, что FR = LY = 1.

Система двух дифференциальных уравнений (5) является отдельным случаем канонической системы Андроновой, топологические свойства ее общеизвестны.

Для системы (5) вблизи тривиального равновесия (в нашем случае имеется в виду Y*, R*) необходимое условие возникновения цикла - это выполнение уравнения ?=0 или равнозначного ему IY=SY. Иначе говоря, для инициирования периодического процесса нужно обеспечить равенство эластичностей функций сбережений и инвестиций по величине национального дохода в состоянии равновесия Y*, R*. При этом частота возникающих колебаний равна единице.

Что же будет происходить с исследуемой системой на границе области устойчивости, обусловленной равенством IY=SY? Примем, что состояние равновесия Y*, R* является сложным фокусом первого порядка, в котором первая фокусная (ляпуновская) величина I1, отлична от нуля. Для системы (5) получим

I1 = a 11 a20+а11a02-a20b20 ? 0 (6)

или в исходных обозначениях

I1= FYR(FYY +FRR) - FYRLYY?0 (7)

В зависимости от знака 11 возможны два случая:

а) l1< 0, сложный фокус устойчив. При переходе через границу IY=SY от значения IY>SY появляется единый устойчивый предельный цикл. При обратном изменении значений соответствующих эластичностей устойчивый цикл стягивается в состояние равновесия Y*, R*. То есть имеет место мягкий автоколебательный режим для Y (t), R (t);

б) l1>0, сложный фокус неустойчив. При переходе через границу IY=Sy ot значений Iy>Syk Iy<Sy b состояние равновесия Y*, R* появляется неустойчивый предельный цикл. При обратном изменении параметра ?=IY- SY из состояния равновесия возникает такой же цикл. Но в этом случае переход через границу ц=0 соответствует возникновению области устойчивости внутри неустойчивого предельного цикла; некое фиксированное состояние системы (5) при этом срывается и выходит за рассмотренную границу состояния равновесия Y*,R*. При обратном изменении параметра ? указанное фиксированное состояние системы (5) не возвращается в состояние равновесия Y*, R*: система ведет себя необратимо (гистерезис). То есть наблюдается режим жесткого (скачкообразного) нарушения автоколебаний.

Более сложным поведением исходной системы (5) характеризуется ситуация, когда величина /, мала и знакопеременна, при этом условие /, = 0 накладывает ограничения на параметры а11 а20 + а11 а02 -а20Ь20 = 0.

Допустимо существование такого, например, соотношения:

(8)

(9)

Для анализа наблюдений в исходной системе (5) при малых ?1,l1, бифуркации двукратного цикла необходимо получить выражение для второй фокусной величины l2 при условии, что l2 ?0. Выражение для l2 при ? = l1= 0 имеет следующий вид :

(10)

В зависимости от сочетаний знаков ?, l1, l2 возможны четыре сценария цикличного поведения динамической системы (5):

1) l2<0, l1<0. При переходе ? от отрицательных значений к положительным система мягко выходит на устойчивый цикличный режим;

2) l2<0, l1>0. При переходе ? от отрицательных значений к положительным система жестко выходит на устойчивый режим автоколебаний, который зародился еще до потери устойчивости состоянием равновесия вместе с неустойчивым циклом, включенным в состояние равновесия в момент потери устойчивости;

3) l2>0, l1<0. Потеря устойчивости мягкая, но нарождающийся предельный цикл быстро исчезает вследствие слияния с неустойчивым циклом, пришедшим издалека, после чего в системе жестко, катастрофическим образом возбуждается новый режим;

4) l2>0, l1>0. Классический жесткий сдвиг автоколебаний.

Следовательно, каким бы ни был знак l2, при соответствующем знаке l1, проведенный анализ позволяет описать качественно иное, по сравнению с однопараметрическим исследованием, явление: при l2<0 существует режим, установившийся вследствие жесткого возбуждения, а при l2>0 выявляется недолговечность режима, установившегося вследствие мягкого возбуждения. Чтобы установить один из двух случаев (l2<0 или l2>0), который действительно имеет место, нужно выполнить тщательный анализ формулы (10), выведение которой само по себе является сложным упражнением на символьные преобразования.

Из выражения (10) также следует, что вторая фокусная величина обращается в нуль при таком условии:

3 а20 + 5 а02 = 0, (11)

ибо выполнение неравенств |а20| ? |a02| ? |а11| необходимо для обеспечения диссипативности системы (5). В противном случае будет иметь место консервативная система с множеством замкнутых фазовых кривых, зависимых от начальных условий. Под диссипативностью системы имеем в виду потерю фазового объема исходной системы, что гарантирует наличие конечного количества предельных циклов.

При таких условиях (10) является соотношением, определяющим наличие третьего предельного цикла вблизи состояния равновесия Y*, R*. При помощи формул (8), (9), (11) получим систему ограничений на параметры системы (5) для существования трех предельных циклов вблизи состояния равновесия Y*, R*:

 (12)

Здесь не приводится формула для третьей фокусной величины l3 ввиду ее громоздкости. При этом укажем на справедливость условия l3 ? 0 при ? = l1, = l2 = 0. Поэтому максимально возможное число циклов вокруг состояния равновесия У*, R* равно трем, что согласуется с известными теоретическими результатами.

Система (5) имеет еще одно равновесное значение У*, R* + (2/FRR), которое также является фокусом. Известно, что при ?= - (2FYR/FRR) вблизи состояния равновесия У*, R* - (2/FRR) есть единственный предельный цикл. Исходя из того, что ?=Fy, экономическим условием его возникновения будет

или, в развернутом виде,

. (13)

Полученные результаты позволяют сделать вывод, что система (5) имеет не меньше четырех предельных циклов в расположении (3:1).

ВЫВОДЫ

Таким образом, в работе изложен современный взгляд на кейнсианскую IS-LM-модель с учетом положений теории эволюции нелинейных динамических систем, что позволяет адаптировать указанную модель к существующим условиям развития экономики. При анализе модели предусматривалось, что линия IS будет достаточно пологой в силу существенно высокой эластичности совокупного спроса по процентной ставке R, а линия LM - достаточно крутой, ибо спрос на деньги неэластичен по процентной ставке R, поскольку основным аргументом денежного спроса выступает перманентный доход Y. При этом целесообразно подчеркнуть, что метод сравнительной статики отражается на плоскости "национальный доход - процентная ставка" и объясняет природу возникновения особых решений динамической системы (1), а именно равновесных состояний. За пределами равновесия или анализа экономической динамики, генерированной системой (1), существенным является отличие от нуля производных dY/dT, dR/dt как функций двух переменных (национального дохода Y и процентной ставки R). То есть полученные соотношения определяют взаимосвязь между параметрами пространственных кривых IS( Y, R) и LМ( Y) с учетом их взаимного расположения в трехмерном пространстве и условий, обеспечивающих появление цикличных режимов с установлением их максимально возможного числа и характера устойчивости. Изложенные результаты получены методами анализа нелинейных динамических систем и не могут быть интерпретированы с позиции традиционной эконометрики. С практической точки зрения в экономических прогнозах нужно учитывать существенный фактор неравномерности поведения, обусловленного нелинейными зависимостями переменных.

Иначе говоря, следует осознавать невозможность "планирования от достигнутого" и считаться с тем, что "завтра может быть не так, как сегодня". По нашему мнению, использование методологии экономической синергетики для решения указанной проблемы дает возможность осуществить качественное прогнозирование (в топологическом смысле) колебательных процессов в IS-LM модели с конструированием соответствующей архитектуры цикличных режимов. Полную топологическую картину динамики системы (1) можно использовать для обоснования управленческих решений в процессе реализации макроэкономической политики государства, с учетом антикризисных мер, направленных на предупреждение нежелательной динамики системы и катастроф.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баутин Н.Н., Леонтович Е.А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости.- М., "Наука", 1990, 488 с.

2. Баутин Н.Н., Гайко В.А. Глобальные бифуркации циклов и шестнадцатая проблема Гильберта. -М., 2000, 167с.

3. Андронова Е.А. К топологии квадратичных систем с четырьмя предельными циклами. "Успехи математических наук", 1986, т. 41, вып. 2.

4. Лейонхвуд А. Кейнс как последователь Маршалла. "Вопросы экономики" № 5, 2006, с. 32-47.

5. Князева Е.Н., Курдюмов С.П. Синергетика: нелинейность времени и ландшафты коэволюции.- М., "КомКнига", 2007, 272 с.

6. Воронин А.В. Циклы в задачах нелинейной макроэкономики.- X., "ИНЖЕК", 2006, 136 с.

7. 3анг В.Б. Синергетическая экономика. Пер. с англ. - М., "Мир", 1999.