Прогнозирование вероятных объемов продаж

Московский государственный университет технологий и управления

Филиал в г. Ростов-на-Дону

По курсу «Прогнозирование принятия управленческих решений»

Выполнила студентка Попкова Елена

3 курса Шифр 3373 Николаевна

г. Ростов-на-Дону 2009г.

Часть №1

1. Построить график изменения объема продаж во времени.

2. Применить метод трехчленной скользящей средней.

3. Построить систему нормальных уравнений и рассчитать константы прогнозирующей функции.

4. Определить наиболее вероятные объемы продаж в 13, 14, 15 месяцы.

5. Рассчитать возможные ошибки прогноза, определив доверительные интервалы для индивидуальных значений объема продаж в 13, 14, 15 месяцы.

6. Построить графики скользящей средней и прогнозирующей функции вида yt=f(t).

Решение:

Имеются данные характеризующие изменения объема продаж - таблица 1.

Построим график изменения объема продаж

Рис. 1 График изменения объема продаж

Применим метод трехчленной скользящей средней.

Значения трехчленных скользящих средних вычислим по формуле:

t=2, 3,…, (n-1)

- выбираются из графика рис.1

Полученные значения скользящих средних занесем в таблицу - (таблица 2)

Построим систему нормальных уравнений и рассчитаем константы прогнозирующей функции.

Решим систему нормальных уравнений для параболической прогнозирующей функции:

Система нормальных уравнений:

Сомножитель n в первом уравнении системы характеризует объем выборочной совокупности (n = 12)

Определим все суммы, включенные в систему нормальных уравнений. Результаты вычислений представим в таблице 3.

Таблица 3.

Подставим полученные результаты в систему

785 = 12б+78b+650c

6299 = 78б+650b+6084c

58825 = 650б+6084b+60710c

Решив систему, найдем константы: б = 28,07 b = 1.06, c = 0.56

Следовательно, уравнение прогноза имеет вид:

= 28.07+1.06t+0.56t2

Определим наиболее вероятные объемы продаж в 13, 14, 15 месяцах.

Оценим правильность подбора прогнозирующей функции с помощью остаточной дисперсии, остаточного среднеквадратического отклонения и индекса корреляции.

Рассчитаем правильность подбора прогнозирующей функции (в нашем случае - параболической), сравнив ее с другой прогнозной функцией - прямой линией. Линейная функция:

, а система нормальных уравнений для нее:

Искомые уравнения тренда:

Параболическая функция: = 28.07+1.06t+0.56t2

Линейная функция: = 11,03+8,36t

Вычислим значение средней арифметической yср:

Рассчитаем статистические показатели, для чего промежуточные данные вычислений (для суммарных значений) запишем в таблицу 4.

Таблица 4.

Вычислим значения

Для параболической функции:

Для линейной функции:

Сравнив эти три показателя между собой мы видим, что для параболической функции они меньше, чем для линейной. Следовательно, степенная функция в нашем случае лучше подходит для уравнения прогноза.

Чтобы вычислить индекс корреляции , необходимо вычислить общую дисперсию по формуле:

Причем она одинакова для любой прогнозирующей функции (в нашем случае для параболической и линейной).

Рассчитаем значение индекса корреляции

Для параболической функции:

Для линейной функции:

Чем больше коэффициент корреляции, тем сильнее взаимодействие между переменными t и yt. Как видно значение индекса корреляции более 0,9; что говорит о весьма высокой силе связи между переменными. Однако, для параболической функции коэффициент корреляции все же выше и поэтому критерию она подходит больше, чем линейная.

Рассчитаем возможные ошибки прогноза, определив доверительные интервалы для индивидуальных значений объема продаж в 13, 14, 15 месяцы.

Прогнозные расчеты выполняемые с использованием элементов одиночного временного ряда, завершаются проверкой прогноза, т.е. оценкой его точности (достоверности). Из-за строгой функциональной связи между исследуемой переменной yt и показателем аргументом t реальное значение функции в перспективе может заметно отличаться от прогнозной оценки. Такое явление связано с воздействием многих случайных факторов, не учитываемых в прогнозирующей функции.

Это приводит к необходимости оценки возможной ошибки прогноза, для чего принято рассчитывать доверительную зону выборочной линии регрессии (прогноза).

Для определения возможной ошибки прогноза доверительные интервалы значений объема продаж рассчитываются по формуле:

Где - максимально (В) и минимально (Н) возможные значения объема продаж в момент времени t,

Рассчитаем доверительный интервал для прогноза значения объема продаж на момент времени t=13

Вычисли остаточное среднее квадратичное отклонение:

где N-количество констант в уравнении прогноза (в нашем случае их 3 - б, b и с). табличное значение t-критерия Стьюдента. Определяется по таблице для параметра k=n-3 и доверительной вероятностью P=0,99.

для k=12-3=9

Определим верхнее и нижнее значение доверительного интервала для t = 13

Итак для t=13,

Для t=14, = 33,3

Для t=15, = 34,7

Получим:

На основании этих вычислений можно с вероятностью 0,99 утверждать, что объем продаж в 13-й месяц будет находиться в интервале 104,3 - 168,7; в 14-й месяц объем продаж будет находиться в интервале 119,3 - 186; в 15-й месяц объем продаж будет находиться в интервале 135,2 - 204,6.

Построим графики изменения объема продаж во времени, скользящей средней и прогнозирующей функции вида

Часть №2

Задание:

По данным, характеризующим изменение объема продаж (таблица 1.), требуется выполнить следующие задания, используя программу Excel.

1. Построить графики исходной кривой, трехчленной скользящей средней, выбрать линию тренда, указать уравнение этой функции.

2. Используя функции ТЕНДЕНЦИЯ или РОСТ построить прогнозирующую функцию.

3. Используя функции программы Excel, посчитать доверительные интервалы для 25-го месяца.

Решение:

Таблица 1

Рассчитаем значения трехчленной скользящей средней по формуле и занесем результат в таблицу 2.

t=2, 3,…, (n-1)

Таблица 2

Построим график кривых используя Excel:

Экспоненциальная (Объем продаж) посчитали с помощью функции РОСТ.

Попробуем подобрать уравнение прогнозирующей функции, которая бы более точно описывало изменение объема продаж с помощью Excel и построим график.

Вычислим значение по формуле прогнозирующей функции для t=25.

667,62

Доверительные интервалы для индивидуальных значений объема продаж рассчитывается по формуле:

Т.е. надо посчитать .

Для того, чтобы посчитать доверительные интервалы, воспользуемся функцией ДОВЕРИТ из программы Excel. Формат функции ДОВЕРИТ записывается следующим образом:

ДОВЕРИТ (альфа; стандартное отклонение; размер),

Где (1-альфа) - значение вероятности, с которой значение попадает в доверительный интервал, для нашего примера Р=0,99 следовательно 1-альфа=0,99; альфа=0,01;

Стандартное отклонение - это где - общая дисперсия, учитывающая отклонение исходных значений от средней арифметической .

Размер - это размер выборки (n).

Вычислим:

В ячейке вводим функцию ДОВЕРИТ (0,01; 141; 24)

В результате

Итак:

На основании этих вычислений можно с вероятностью 0,99 утверждать, что объем продаж в 25-й месяц будет находиться в интервале 593,6 - 741,6.